De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Impliciet differentieren

als je de opgave krijgt:bepaal d2y/dx2 langs de kromme: x^2+y^2=1

hoe moet je dit dan aanpakken?

Edwin
Student universiteit - woensdag 6 augustus 2003

Antwoord

x2+y2=1 is geen functie. Je zou er een functie van kunnen maken door te proberen die gelijkheid om te zetten in een vorm y=f(x), maar daar moet je dan al meteen onderscheid maken in een geval y0 en y0. Meer nog, het is niet altijd mogelijk de inversie in een gesloten vorm uit te voeren.

Daar komt nu de impliciete diffentiatie ter hulp. Beschouw y als functie van x, maar laat de gegeven uitdrukking staan zoals ze staat. Aangezien ze geldt voor alle x kunnen we nu de differentiatie doorvoeren. Twee differentiatiestappen na elkaar leveren

x2 + y2(x) = 1 (A)
2x + 2y(x)y'(x) = 0 (B)
2 + 2(y'(x)2+y(x)y"(x)) = 0 (C)

Uit (B) volgt dat y'(x)=-x/y(x)
Uit (C) volgt dat y"(x)=-(1+y'2(x))/y(x)=-(x2+y2(x))/y3(x)=-1/y3(x)

Op punten (x,y) op de gegeven kromme geldt dus dat d2y/dx2 = -1/y3, zowel voor punten met y0 als y0.

Controleer zelf door y als f(x) te schrijven en de afleiding op f(x) uit te voeren. Vergeet niet de gevallen te onderscheiden.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 6 augustus 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3