\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Wortel 3 is irrationaal

Hoe kan je bewijzen dat de wortel uit 3 een irrationaal getal is?

Geertj
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 29 maart 2002

Antwoord

Stel √3=p/q (p,q $\in$ N) waarbij de breuk niet verder vereenvoudigd kan worden.

√3=p/q
3=p2/q2
3q2=p2 (1)

Hieruit volgt dat p2 een drievoud is... maar een kwadraat is alleen drievoud als p ook een drievoud is. Dus p is te schrijven als 3a (met a=p/3). Dan is p2=9a2 en dan volgt uit (1):

3q2=9a2
q2=3a2

Dus q2 is ook een drievoud... en q dus ook. Maar dan hadden we de breuk p/q kunnen vereenvoudigen, maar dat is in strijd met de aanname! Dus √3 kan je niet schrijven als een breuk, dus √3 is irrationaal!
Wie is wie?
vrijdag 29 maart 2002
©2004-2023 WisFaq