Afleiden van de somregel van sinus

Hoe kan ik van de regel sin (a+b)= sin a·cos b+ cos a·sin b de formules sin(2a) en sin(a/2) afleiden. Alvast bedankt, roeten

Philip
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 mei 2003

Antwoord

Hoi,

Formule afleiden voor sin(a+b) = sina·cosb + cosa·sinb

Beschouw onderstaande rechthoek



P en Q zijn zo gekozen dat ÐAQP = 90° en AP = 1.

ÐPQC = a, want ÐBQA = 90° - a en ÐBQC = 180° (gestrekte hoek) Þ ÐPQC = 180°-ÐBQA - ÐAQP = 180° - (90° - a) - 90° = a.

ÐAPD = a+b, dat zou je kunnen bewijzen a.d.h.v. een Z-hoek, want AB // DC Þ ÐBAP = ÐDPA (je zou 't ook anders kunnen aanpakken: ÐADP = 90°, ÐDAP = 90° - (a+b) Þ Ð DPA = 180° - 90° - (90° - (a+b)) = a+b.

Nu gaan we 'n schema invullen (hou rekening met AP = 1)!



In de rechthoek geldt dat AD = BQ + QC. A.d.h.v. de tabel kunnen we laten zien dat sin(a+b) = AQ·sina+PQ·cosa, want sina=^BQ/_AQ en cosa=^CQ/_PQ en sin(a+b) = AD.

Invullen levert: AD = AQ·^BQ/_AQ + PQ·^CQ/_PQ Þ AD = BQ + CQ.

We kunnen die AQ en PQ ook vervangen. Krijgen we sin(a+b) = cosb·sina + sinb·cosa en aangezien bij de vermenigvuldiging de factoren van plaats mogen ruilen (want 4·3 = 3·4 bijvoorbeeld) mogen we ook schrijven sin(a+b) = sina·cosb+cosa·sinb.

Om de regel van cos(a + b) te bewijzen kun je gebruikmaken van het feit dat PD = AB - PC, en op analoge wijze krijg je dat cos(a+b) = cosa·cosb - sina·sinb (we noemen deze formules de somformules)

Je kunt nu ook op de verschilformules hieruit afleiden, maar dan moet je wel weten dat cos(-t) = cos(t), sin(-t) = -sin(t).

Formule afleiden voor sin(2a)

sin(2a) = sin(a+a). Dus gewoon b vervangen door a in bovenstaande formule.

sin(a+a) = sina·cosa + sina·cosa = 2sina·cosa.

cos(2a) gaat analoog, je krijgt cos²a - sin²a als uitkomst.

Formule afleiden van sin(¹/₂a)

Vervang in bovenstaande formule a door ¹/₄a.

sin(2·¹/₄a) = 2sin(¹/₄a)·cos(¹/₄a)

Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden, zo niet dan hoor ik het wel,

Groetjes,

Davy. Zie Meer informatie...

zondag 25 mei 2003

©2004-2024 WisFaq