Parameter en aantal snijpunten met de y-as

Wij hebben een samengestelde beweging met uiteindelijk x(t)=3sin(t)+cos(at) en y=2cos(t)+sin(at). Nou heeft onze beweging bij de waarde van a die een geheel getal is van 0 t/m 8 twee snijpunten met de y-as maar als a=9 zijn dat er 3 wat is hier het verband tussen? Hoe berekenen wij dit?

Anonie
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 november 2023

Antwoord

Voor een snijpunt met de $y$-as moet gelden $x(t)=0$.
Als je voor een paar waarden van $a$ de grafiek van $x(t)$ laat plotten zie je dat $x(t)$ zich tussen de grafieken van $3\sin(t)-1$ en $3\sin(t)+1$ beweegt. Bijvoorbeeld voor $a=20$:

Je kunt de nulpunten van die functie tellen en dan weet je hoeveel snijpunten je met de $y$-as hebt. Bij $a=100$ wordt dat al lastig

Een vaste formule voor het aantal snijpunten als functie van $a$ is er niet.

Wat ik zou doen is de intervallen bepalen waar $x(t)$ nulpunten kan hebben, dat zijn de intervallen waar $3\sin(t)-1 < 0 < 3\sin(t)+1$. Binnen die intervallen zou ik punten bepalen waar $\cos(at)=1$ en $\cos(at)=-1$, dat is niet moeilijk want $\cos(at)=1$ als $at=2k\pi$ voor gehele $k$, en $\cos(at)=-1$ als $at=(2k+1)\pi$ voor gehele $k$, je krijgt bij elkaar $t=\frac{m}{a}\pi$, met $m$ geheel.
Tussen elk tweetal van die punten die in de intervallen liggen zit een nulpunt van $x(t)$, dat aantal kun je bepalen. Daarnaast zouden er in zo'n interval nog een nulpunt voor het eerste punt uit de rij en een nulpunt na het laatste punt kunnen zitten, er zou dus nog $1$ of $2$ bij je aantal kunnen komen, maar dat hangt van $a$ af.

kphart
donderdag 16 november 2023

©2001-2024 WisFaq