Gladheidseigenschappen van oplossingen

Hallo,

In mijn wiskundeboek staat de volgende opgave: laat zien dat alle oplossingen van the ODE y'=sin(y) oneindig differentieerbaar zijn. (hint: merk op dat de eigenschap van siny een oneindig differentieerbare functie is van y)

Ik snap dat sin(y) oneindig differentieerbaar is, maar weet niet hoe ik dit kan bewijzen in de ODE. Hopleijk kunt u mij helpen.

Erwin
Student hbo - vrijdag 10 juli 2020

Antwoord

Het gaat het best met volledige inductie:
Basis: $y$ is differentieerbaar
Volgende stap: $y'(x)=\sin y(x)$ is ook differentieerbaar: wegens de kettingregel geldt $y''(x)=\cos y(x)\cdot y'(x)=\cos y(x)\cdot \sin y(x)$.
Als je een paar keer doordifferentieert zul je zien dat elke volgende afgeleide $y^{(n)}(x)$ te schrijven is als $P_n(\sin y(x),\cos y(x))$, waar $P_n$ een polynoom is.
Dat kun je dan met inductie bewijzen; en dus volgt dat alle afgeleiden $y^{(n)}(x)$ bestaan.

kphart
vrijdag 10 juli 2020

©2001-2024 WisFaq