Onmogelijke derdegraadsvergelijking

Er ontstaat een derdegraadsvergelijking bij het berekenen van de cosinus van een derde van een gegeven hoek: 4·cos³(a/3)–3·cos(a/3)–cos(a)=0.
Dat wordt 4x³–3x–cos(a)=0.

Met a=60, ontstaat er 4x³–3x–¹/₂=0 $\to$ 8x³–6x–1=0.
Het oplossen van de vergelijking lijkt goed te gaan, totdat er uitkomt: x=³√((1+√3·i)/2)+³√((1–√3·i)/2).

Met een poging de vergelijking te vereenvoudigen door de methode van Bombelli te gebruiken, een methode om de exacte waarde te vinden van ³√(a+bi) en van ³√(a–bi), kom ik steeds terug op dezelfde vergelijking.

Zelfs mijn gloednieuwe GR en de oplosser voor vergelijkingen van deze site werken niet!

Is deze vergelijking mogelijk om exact op te lossen?
Als het goed is het antwoord de exacte waarde van cos(20).

Alvast bedankt!

Casper
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - woensdag 9 januari 2019

Antwoord

Er is hier sprake van een zogenaamde casus irreducibilis.

De in de wikipediapagina beschreven discriminant D is positief. Dat betekent dat de derdegraads vergelijking drie reëele oplossingen heeft maar dat het niet lukt om de (reëele) oplossingen zonder complexe getallen weer te geven.

(Pas op: deze discriminant is wat anders als die bij de vierkantsvergelijking)

woensdag 9 januari 2019

©2001-2024 WisFaq