Driezijdig prisma en een driezijdige piramide

Gegeven: een driezijdig prisma en een driezijdige piramide elk met een vaste inhoud van 1000 cm3, en een grondvlak in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Bij welke afmetingen is de oppervlakte zo klein mogelijk? Leg uit.

Tim
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 13 maart 2003

Antwoord

We hebben een gelijkzijdige driehoek met zijde(s) X.
De oppervlakte van deze driehoek is (X²·3)/4

INH prisma = oppervlakte grondvlak · hoogte = (X²·h·3)/4 = 1000
  oftewel h·3 = 4000 / X² (vglA)
OPP prisma = 2x opp grondvlak + opp opstaande zijdes = (2·X²·3)/4 + 3·X·h (vglB)
de laatste vergelijking moet geminimaliseerd worden:

substitutie van vglA in vglB geeft:
(2·X²·3)/4 + 3·X·4000 / X² = (X²·3)/2 + 3·4000 / X =
= 3·(X²/2+4000/X)
en het minimum van deze functie wordt bereikt in het punt X=(3000)
h is dan ook gelijk aan (3000)...
nu kun je de piramide denk ik zelf wel, toch?

MvdH
donderdag 13 maart 2003

©2001-2024 WisFaq