Riemannsom van een functie

Goede avond,

Gegeven is een f(x)= cos(x) met een grafiek met een interval
getekend tussen [-2$\pi$;2$\pi$] Er wordt nu gevraagd:

a) Verdeel het interval [-2$\pi$;2$\pi$] in vier gelijke deelintervallen en teken dan de RIEMANN som MBV de volgende waarden.
x₁=-4$\pi$/3 ; x₂=-$\pi$/4 ;x₃= $\pi$/6 ; x₄=5$\pi$/4

b) Formuleer in het algemeen de RIEMANN som en teken daarna de waarde ervan uit bij de constructie die je gemaakt hebt.
(Welke constructie moet ik hierbij nog maken?)

c) Bepaal de limiet van de RIEMANN som in het gegeven interval: [-2$\pi$;2$\pi$]

Ik dacht aan het kiezen van intervallen (van links naar rechts ]-2$\pi$;-$\pi$];[-$\pi$:0] ;[0;$\pi$] ;[$\pi$;2$\pi$]

Als ik nu integreer tussen -2$\pi$ en -3$\pi$/2 (¹/₈ van de cosinus grafiek) dan bekom ik na integratie van de functie en vermenigvuldigd met 2 één ganse periode
2/[sinx] bij het interval -3 $\pi$/2 en -2$\pi$:
2(sin(-(3$\pi$/2)-sin(-2$\pi$)=
2·(-sin(3$\pi$/2)+sin2$\pi$)=
2·(-)·(-1)=2 Voor 4 perioden is dat= 8
Toch vermoed ik dat er andere antwoorden moeten komen maar de RIEMANN theorie is toch wat vreemd voor mij....
Enkelel waarden zijn:
Sin(-4PI]/3=-0,87 ; sin(-$\pi$/4)=-0.70 ;
sin($\pi$/6)=0,5 en sin (5$\pi$/4)=-0,70
cos(-4$\pi$/3)=cos4$\pi$/3=-0,5
cos(-$\pi$/4]=cos$\pi$/4=0,70
cos($\pi$/6 =0,5
cos(5$\pi$/4)=-0.70
Ik kom niet verder...
Wil iemand die wat tijd heeft , mij wat helpen aangaande de RIEMANN sommen en de grafiek die daarbij hoort
Groeten,
Rik

Rik Le
Iets anders - zaterdag 24 oktober 2015

Antwoord

Riemannsommen worden gebruikt om Riemannintegralen te definiëren. Ze worden gevormd door het gegeven interval, $[a,b]$ in eindig veel deelintervallen te verdelen: $[x_0,x_1], \dots, [x_{n-1},x_n]$ (dus $x_0=a$ en $x_n=b$); vervolgens in elk interval $[x_{i-1},x_i]$ een punt $t_i$ te kiezen; de bijbehorende Riemannsom is dan $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ (en $f$ is de te integreren functie).
De Riemannintegraal $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ is de limiet, zo die bestaat, van dergelijke sommen (zie onderstaande link, en volg ook die naar de Riemannintegraal).
Het doel van je som lijkt in onderdeel a) om één enkele Riemannsom op te stellen; je intervallen kloppen en de Riemannsom krijg je door bovenstaande formule te gebruiken:
$$
\cos\left(-\frac{4\pi}3\right)\cdot\pi+\cos\left(-\frac\pi4\right)\cdot\pi + \cos\left(\frac\pi6\right)\cdot\pi + \cos\left(\frac{5\pi}4\right)\cdot\pi
$$
Wat het tekenen betreft: ik denk dat je vier blokken moet tekenen: één met basis $[-2\pi,-\pi]$ en hoogte $\cos\left(-\frac{4\pi}3\right)$, één met basis $[-\pi,0]$ en hoogte $\cos\left(-\frac\pi4\right)$, en nog zo twee.
Onderdeel b) is mij niet helemaal duidelijk, misschien wil men dat je gewoon $\sum_{i=1}^n\cos(t_i)(x_i-x_{i-1})$ opschrijft, maar hoe je dat tekent zie ik niet.
Onderdeel c) is makkelijk: de limiet is de integraal van $\cos x$ over $[-2\pi,2\pi]$.

Zie Wikipedia: Riemann sum

kphart
woensdag 28 oktober 2015

©2001-2024 WisFaq