Modulorekenen
Zou iemand kunnen bewijzen dat a25 mod(88) congruent is met a5 mod(88)? (in het geval dat a en 88 relatief priem zijn heb ik al bewezen, het andere geval nog niet).
bob
Student universiteit België - zondag 7 juni 2015
Antwoord
Hallo Bob,
Laten we eerst naar het eenvoudiger geval kijken modulo 11.
Als je de vijfdemachten van 1 tot en met 11 modulo 11 bekijkt, dan zijn de uitkomsten:
15 = 1 (mod 11)
25 = -1 (mod 11)
35 = 1 (mod 11)
45 = 1 (mod 11)
55 = 1 (mod 11)
65 = -1 (mod 11)
75 = -1 (mod 11)
85 = -1 (mod 11)
95 = 1 (mod 11)
105 = -1 (mod 11)
115 = 0 (mod 11)
We zien dat in alle gevallen de uitkomst -1 (of 10), 0 of 1 is. Voor deze drie zelf geldt bovendien dat a5 =a (mod 11), dus als je nog een keer tot de vijfde macht doet, dan blijft de uitkomst in dezelfde congruentieklasse. Dat betekent dat voor elk getal a25 =a5 (mod 11), dus a25-a5 is altijd deelbaar door 11.
Voor congruentierekenen modulo 8 geldt iets dergelijks:
15 = 1 (mod 8)
25 = 0 (mod 8)
35 = 3 (mod 8)
45 = 0 (mod 8)
55 = 5 (mod 8)
65 = 0 (mod 8)
75 = 7 (mod 8)
85 = 0 (mod 8)
Dus de vijfde macht is ofwel congruent 0 mod 8 (alle vijfdemachten van even getallen zijn deelbaar door 8 - natuurlijk), of zij blijven in dezelfde congruentieklasse mod 8. Ik laat het afronden van de conclusie aan jezelf over.
Met vriendelijke groet,
maandag 8 juni 2015
©2001-2024 WisFaq
|