\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Nestwortel

als a1=q en a2=(q+pq) en a3=(q+p(q+p(q))),

wat is dan de recurrente betrekking die an+1 uitdrukt in an?
bestaat er ook een a0?
en wat is de limiet van deze recurrente betrekking?
heeft deze rij ook betekenis als p,q0?

mvg
Wouter

wouter
Student universiteit - woensdag 29 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Deze vraag heeft wat weg van recursieve rijen...

Je ziet onmiddelijk dat an+1=(q+p.an) voor n>1 en a1=q.

Als er een a0 bestaat, dan moet gelden dat a1=q=(q+p.a0) en dus dat p.a0. Voor p=0, is elke waarde van a0 een goede waarde, voor p<>0, is enkel a0=0 mogelijk.

Als er een limiet a bestaat, dan moet gelden: a=(q+p.a). We weten dus al dat a0 moet zijn en dat a2-p.a-q=0. Zodat a=(p+(p2+4q))/2 of a=(p-(p2+4q))/2.

Voor q<0, is a1 niet reëel. Voor q0, is enkel p+(p2+4q))/20. Deze limiet bestaat ook omdat de discriminant dan 0 is.

Voor q<0 heeft de rij geen reële betekenis.

Voor p0 zijn alle grondtallen positief en bestaat de limiet.
Voor p<0, moeten we onderzoeken onder welke voorwaarden q+p.an0 voor alle n>1, zodat an bestaat. Voor n=2 vinden we een voorwaarde dat p-q. Dit is ook een voldoende voorwaarde opdat het gevraagde zou gelden voor alle n>2. Je kan narekenen na dat uit anq volgt dat q+p.an0 en an+1q. Per inductie is het gestelde daarmee bewezen.

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 29 januari 2003

©2001-2024 WisFaq