Injectief / Surjectief / Bijectie
Klopt mijn bewering?
Een functie is injectief als er voor elke functiewaarde hoogstens 1 x-waarde bestaat. Een functie is een bijectie als die functie injectief én surjectief is. Surjectief is volgens mij het volgende: als een functie MINSTENS 1 x-waarde voor elke functiewaarde heeft, dan is de functie surjectief. Als deze HOOGSTENS 1 x-waarde heeft, dan is de functie injectief. Aangezien bijectie = injectief + surjectief geeft dit dat de functie een bijectie is als deze PRECIES 1 x-waarde heeft voor elke functiewaarde.
Alvast bedankt.
Anon
Student universiteit België - dinsdag 2 oktober 2012
Antwoord
Beste Anon,
Voor deze begrippen is het belangrijk om domein en codomein van de functie te beschouwen, dus laten we het hebben over een functie $f: X \to Y$, dus met domein $X$ en codomein $Y$. Jij hebt het namelijk over 'functiewaarden', maar dat impliceert al dat er een $x \in X$ is waarvoor $y=f(x) \in Y$ bestaat.
De functie $f$ noemen we injectief als er voor elke $y \in Y$ hoogstens één $x \in X$ bestaat zodat $f(x) = y$. Merk op dat dit zinvoller is, want in jouw formulering is het niet mogelijk dat er zo géén $x$ bestaat (anders zou je niet van functiewaarde kunnen spreken). Een andere manier om injectiviteit te formuleren: $f$ noemen we injectief als
$f(x) = f(y)$ impliceert dat $x=y$.
Analoog bij surjectief: nu zeggen we dat $f$ surjectief is als er voor elke $y \in Y$ minstens één $x \in X$ bestaat zodat $f(x) = y$. Ook hier was jouw formulering niet zinvol, want om van 'functiewaarde' ($f(x)$) te spreken móet er een $x$ zijn; dat hoeft echter (voor niet-surjectieve functies) niet zo te zijn voor elke $y \in Y$.
Bijectief is dan inderdaad beide en dit betekent dat er met elke $x \in X$ precies één
$y \in Y$ overeenstemt en omgekeerd.
mvg,
Tom
woensdag 3 oktober 2012
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Injectief / Surjectief / Bijectie