\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Limiet van een oneindige rij

de volgende rij is gegeven:

an = 1+3+5+7+...(2n+1)/n2

a. bereken de limiet van an als n ®¥

Je moet dan de somformule gebruiken. Ik doe het alsvolgt (Het antwoordenboek doet het anders. Dat komt zo)

Lim (n®¥ (2n+1)(1+(2n+1))/2/n2 = 4n2+6n+2/2n2 = 2n2+3n+1/n2
Alles delen door de grootse onbekende levert: (2n2/n2)+(3n/n2)+(1/n2)/1. Alle termen, behalve (2n2/n2) gaan naar nul. Je zou dus als limiet 2 krijgen. Het antwoordenboek zegt dat de limiet 1 is. Ik kom hier niet uit.
Alvast bedankt.

Mvg.
Klaas

Klaas
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 januari 2009

Antwoord

Omdat je wat karig met haakjes bent, kan ik jouw aanpak niet helemaal volgen.
Verder neem ik aan dat het getal n2 waardoor je moet delen, niet alleen onder de laatste term staat maar dat de bedoeling is om de volledige optelsom door n2 te delen. Kortom: let op haakjes!
Eerst de optelsom 1+3+5+7+....+(2n+1).
Dit is een rekenkundige rij met verschil 2 en er zijn (n+1) termen (als we de startterm a0 noemen).
De somformule heeft je geleerd dat de optelsom van deze termen gelijk is
1/2.(1+(2n+1).(n+1) = 1/2.(2n+2)(n+1) = 1/2.2.(n+1).(n+1)=(n+1)2 = n2+2n+1.

Delen door n2 maakt hiervan 1 + 2/n + 1/n2
Voor 'grote' n zijn de laatste twee termen vrijwel gelijk aan 0, zodat de limietwaarde inderdaad 1 is.

MBL

MBL
donderdag 8 januari 2009

©2001-2024 WisFaq