\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bewijs inverteerbaarheid

Is A inverteerbaar dan is de getransponeerde matrix A^T ook inverteerbaar en (A^T)^-1 = (A^-1)^T
Bewijs

Wilt u me Aub helpen

Bedankt

Ellen
3de graad ASO - woensdag 27 november 2002

Antwoord

Hoi,

Omdat A-1 bestaat, zal ook (A-1)t bestaan.

(A-1)t.At = (A.A-1)t = (I)t= I
Dus: (A-1)t.At=I

Analoog bewijs je dat At.(A-1)t=I

(A-1)t is dus een geldige oplossing van X.At=I en At.X=I. Er bestaat voor een willekeurige matrix hoogstens één oplossing hiervoor en als er een bestaat, is dit de inverse van At.

Daarom bestaat inverse (At)-1 van At en is deze gelijk aan (A-1)t.

Een iets andere aanpak bestaat erin om via determinanten te werken:
(A-1)t.At=I en dus: det((A-1)t).det(At)=det(I)=1. Daarom kan det(At) niet 0 zijn en moet (At)-1 bestaan.
Verder hebben we dat (A-1)t.At=I en dus (A-1)t.At.(At)-1=I.(At)-1 zodat (At)-1=(A-1)t.(At.(At)-1)=(A-1)t.I=(A-1)t

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 27 november 2002

©2001-2024 WisFaq