Convergentiegebied

Ik snap niet precies hoe je van een machtreeks het convergentiegebied kan berekenen. Kunt u mij dit uitleggen met behulp van de uitwerkingen van de volgende opgaven:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {x - 1} \right)^n }}
{{n \cdot 3^n }}} \cr
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {x - 5} \right)^n }}
{{2^n }}} \cr
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {x + 1} \right)^n }}
{{n(n + 1)}}} \cr}
$

Alvast bedankt

peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 23 juni 2007

Antwoord

Het hangt er een beetje van af welke methoden je al kent maar in al jouw gevallen werkt het volgende: noem de algemene term even a_n en bereken het quotiënt |a_n+1|/|a_n|.

Bij de eerste reeks krijg je dan (-1)·(x-1)·n/((n+1)·3); bepaal de limiet, voor n naar oneindig, van de absolute waarde, in dit geval |x-1|/3, en bekijk wanneer die uitkomst kleiner dan 1 is.

Hier dus |x-1|/3$<$1 en dat geeft |x-1|$<$3 of -2$<$x$<$4. Voor die x-en heb je zeker convergentie en voor de x-en met |x-1|/3$>$1 heb je zeker divergentie. Rest nog de randpunten te onderzoeken: vul x=-2 en x=4 in; je krijgt respectievelijk 1/n en (-1)ⁿ/n. De eerste geeft een divergente reeks, de tweede geeft een convergente reeks.

De andere twee kun je op dezelfde manier proberen.

kphart
dinsdag 26 juni 2007

©2001-2024 WisFaq