L`hopital toepassen op een limiet
ik slaag er steeds in om volgende oefening verkeerd op te lossen:
lim (2-x2)tan(pi.x/2) x®1
wat ik tot nu heb: de rechterlimiet (x1)geeft aanleiding tot een onbepaaldheid
ln (2-x2).tan(pi.x/2) dit geeft volgens mij nog steeds een onbepaaldheid dus vorm ik nu de limiet om :
ln (2-x2)/ 2:tan(pi.x) dan (denk ik) moet l'hopital toegepast worden maar krijg een te moelijke berekening...
dank bij voorbaat
studen
Student universiteit België - dinsdag 6 september 2005
Antwoord
Hallo,
Je bent goed op weg denk ik, alleen in de laatste stap doe je "2:" en je laat de factor 1/2 binnen de tangens gewoon vallen, dat klopt niet. We komen dus tot: ln(2-x2)/(1/tan(xp/2))
Prettig wordt het inderdaad niet, maar we passen L'Hopital toe: ln(2-x2)' = 2x/(x2 - 2)
Voor de noemer gebruiken we eerst dat tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x)) 1/tan(xp/2) = (1+cos(px))/sin(px) ((1+cos(px))/sin(px))' = (-pcos(px)-p)/sin2(px)
Dit laatste geeft nog steeds een onbepaaldheid maar kan verder vereenvoudigd worden: (-pcos(px)-p)/sin(px)2 = (-p(cos(px)+1))/(1-cos2(px)) = (-p(cos(px)+1))/((1-cos(px))(1+cos(px))) = -p/(1-cos(px))
Onze breuk wordt na toepassing van L'Hopital: (2x/(x2 - 2))/(-p/(1-cos(px)))
Invullen van x = 1 levert nu mooi 4/p maar we moeten de e-macht niet vergeten zodat de uiteindelijke limiet gelijk is aan: e4/p
mvg, Tom
dinsdag 6 september 2005
©2001-2024 WisFaq
|