Negatieve binomiale verdeling

Hallo, Vraagje: Ik heb te maken met de negatieve binomiale verdeling, ik moet aantonen dat de kansen van de negatieve binomiale verdeling samen 1zijn, hoe toon ik dit aan?

Bvd

Niek
3de graad ASO - woensdag 11 mei 2005

Antwoord

Hallo Niek,
De negatief binomiale verdeling wordt gegeven door:
P(X = k) = Bin(r + k - 1, k) (p^r) (q^k) voor k = 0,1,. . .
Hierin is Bin(n,k) de gewone binomiaalcoefficient n over k.(dit is de kans dat het rde succes in een rij onafhankelijke proeven met succeskans p optreedt bij proef nummer r +k)
Als we als definitie van Bin(n,k) nemen:
Bin (n,0) = 1, Bin(n,k) = n(n-1). . .(n-k+1)/ k! voor k = 1, 2, . . .dan is Bin(n,k) ook gedefinieerd voor n niet een geheel getal, Ja, n mag zelfs negatief zijn.
Nu kun je gemakkelijk nagaan dat Bin( r + k -1, k) het zelde is als Bin(-r, k)(-1)^k en dan krijg je:
P(X =k) = Bin(-r,k)(p^r)(-q)^k
Om deze kansen te sommeren gebruik je wat je weet over binomiaalreeksen:( Zie cursus calculus)
(1+x)^a = Som(k=0 tot oneindig)Bin(a,k) x^k.
(convergeert voor |x| 1)
Pas dit toe en je vindt dat de som van de kansen gelijk is aan p^r (1-q)^-r. = 1 (want 1-q = p)
Ik vondt dit in het voortreffelijke boek van William Feller:
An Introduction to probability theory. Daar kun je nog veel meer vinden over deze verdeling.
Succes, Met vr gr

JCS
woensdag 11 mei 2005

©2001-2024 WisFaq