Kwadraat van de som is de som van de derdemachten

Hallo,
Ik heb een vraag.
Ik heb een bewering en ik moet zelf bewijzen of deze juist of onjuist is, maar ik kom er echt niet uit. Zouden jullie me een handje kunnen helpen?

- Voor elk natuurlijk getal n geldt;
(1+2+3+4...+n)²=1³+2³+3³+4³+...+n³

Alvast bedankt

Leonie
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 29 maart 2005

Antwoord

Hallo Leonie,

Vul eens een paar waarden van n in, je zal zien dat wat er staat steeds uitkomt (vb (1+2)²=1³+2³). Dus dat doet je wel vermoeden dat die bewering juist zal zijn.

Nu, om dit te bewijzen kan je het eenvoudigste werken met inductie. Dat betekent dat je aanneemt dat de uitspraak geldt voor n-1, en dat je probeert ze te bewijzen voor n.

Hier ga je dus aannemen dat (1+2+...+n-1)² = 1³+2³+...+(n-1)³. (*) Dit noemen we de inductiehypothese.

Maar nu geldt dat
(1+2+...+n)²
= ((1+2+...+n-1)+n)²
= (1+2+...+n-1)² + 2((1+2+...+n-1)n) + n²
Werk dit nu eens verder uit: die eerste term ken je wegens (*). Die tweede term zal je ook wel kennen zeker, de som van de eerste n-1 natuurlijke getallen? En als je dat dan allemaal even uitschrijft, zal je zien dat je mooi op het gevraagde rechterlid uitkomt: 1³+2³+...+n³.

Als dat gelukt is, is dan het bewijs geleverd? Ja, want voor n=1 geldt de uitspraak. Maar je hebt net bewezen dat als de uitspraak geldt voor een getal, ze dan ook geldt voor het volgende getal. Dus voor n=2 geldt ze ook. En dus voor n=3 ook. Enzovoort, dus de uitspraak geldt voor elk natuurlijk getal n.

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 29 maart 2005

©2001-2024 WisFaq