Integratie door substitutie

Ik heb een problemen met het berekenen van sommige integralen zoals
Bv:
* ò dx/ lnx^x
Ik loste het als volgt op: ln| lnx^x| +c
Fout dus.
Hoe komt men aan de (juiste) uitkomst = ln| lnx| +c ?


** [ 0 - p] òxsinxcos⁴x dx
Als tip kregen we erbij: x=p – u
Ik weet helemaal niet hoe ik dít zou moeten uitwerken?

Kan iemand me verder helpen en aantonen hoe ik deze bovenstaande integralen kan berekenen aub?

Alvast bedankt voor jullie hulp!

hilde
3de graad ASO - maandag 7 maart 2005

Antwoord

*
Vervang ln(x^x) door x×ln(x) en je krijgt òdx/(x×ln(x).
Neem nu de substitutie: u=ln(x), du=1/x×dx en je krijgt òdu/u.

**
Ik denk aan partieel primitiveren.
In sin(x)cos⁴x herken ik de afgeleide van -¹/₅cos⁵(x), zodat we krijgen:
-¹/₅xcos⁵(x)+¹/₅òcos⁵xdx.
Nu òcos⁵x
Weer partieel primitiveren levert:
òcos(x)cos⁴(x)dx=sin(x)cos⁴(x)+òsin(x)*4sin(x)cos³(x)dx=
sin(x)cos⁴(x)+ò4sin²xcos³(x)dx=
sin(x)cos⁴(x)+4ò(1-cos²(x))cos³(x)dx
sin(x)cos⁴(x)+4òcos³(x)-4òcos⁵(x)dx.
Dus
5òcos(x)cos⁴(x)dx=sin(x)cos⁴(x)+4òcos³(x), dus
òcos(x)cos⁴(x)dx=1/5sin(x)cos⁴(x)+4/5òcos³(x).
Deze laatste kun je bepalen door te schrijven cos³(x)=(1-sin²(x))cos(x)=cos(x)-cos(x)sin²(x).
Dan nog even alles bij elkaar rapen.
Succes.

maandag 7 maart 2005

©2001-2024 WisFaq