\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bewijs van ongelijkheid over getallen uit een rij die met één beginnen

Hoi wisfaq,

Zij an het aantal getallen in de rij 2,22,...,2n die met het cijfer 1 beginnen. Laat zien dat:

log(2)-(1/n)(an/n)log(2)

Hoe moet ik dit aanpakken?
Liefs

fleur
Student hbo - zondag 27 februari 2005

Antwoord

dag Fleur,

Boeiende vraag!
Ik herschrijf de ongelijkheid door deze te vermenigvuldigen met n:
log(2n) - 1 an log(2n)
Je kunt de ongelijkheid aantonen voor n=1.
Dan met verloopsinductie: neem aan dat de ongelijkheid waar is voor alle waarden n
Dan moeten we daaruit de juistheid voor n+1 aantonen.
Maak nu onderscheid tussen de volgende situaties:
  1. 2n+1 begint niet met 1
  2. 2n+1 begint met 1

In geval 1. geldt:
an+1 = an
log(2n+1) en log(2n) hebben dezelfde afgeronde waarde(waarom?)
dus is aan de ongelijkheid voldaan.
In geval 2. geldt:
an+1 = an + 1
2n+1 heeft precies 1 cijfer meer dan 2n, dus de afgeronde waarde van log(2n+1) is 1 groter dan die van log(2n)
waardoor dus ook aan de ongelijkheid is voldaan.
Hiermee heb je de juistheid aangetoond.

PS. Met dank aan gt:
Het kan ook handig opgelost worden door de ongelijkheid te herschrijven tot
an log(2n) an+1
zodat an juist de naar beneden afgeronde waarde van log(2n) is.
Bedenk dan dat er tussen twee machten van 10 steeds precies een macht van 2 zit die met het cijfer 1 begint.
groet,


maandag 28 februari 2005

©2001-2024 WisFaq