\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Cyclische groep

 Dit is een reactie op vraag 34490 
Hoi Christophe,

Ik heb nog wat vraagjes:
vraag1.Als h modulus verschillend van 1 heeft,...
Modulus wat bekijk je h?
vraag2.Elk element a+bi is een machtswortel van 1.Dit begrijp ik niet goed.
vraag3.Waarom is nm/ggd(n,m)=kgv(n,m)?
vraag4.Ik begrijp niet waarom e^(2pi*i/t) met t= kgv, het voorbrengende element is.
vraag5.Ik weet niet hoe ik met inductie moet aantonen dat voor elk tweetal elementen dat er zo'n kgv bestaat.

Groetjes,
Viky

viky
Student hbo - zondag 27 februari 2005

Antwoord

1. ModulUS, niet modulO... De modulus van een complex getal is de afstand tot de oorsprong. Het is de r als je werkt met de voorstelling rei$\theta$ of met r(cos$\theta$+isin$\theta$). Als je met cartesische coördinaten a+bi werkt is de modulus gelijk aan √(a2+b2).

2. In de eerste paragraaf heb ik gezegd dat elk element van de groep modulus=1 moet hebben, dus op de eenheidscirkel ligt. In de tweede paragraaf merk ik op dat elk element eindige orde moet hebben (anders heb je oneindig veel elementen in je groep: h, h2, h3,...). Het feit dat elk element eindige orde heeft, betekent dat voor elke h uit H, er een n bestaat zodat hn=1. In woorden betekent dit laatste dat h een n'de machtswortel is van 1.

3. Dat is één van de basiseigenschappen van ggd en kgv... Het bewijs ervan is simpel: als m = $\prod$pimi en n = $\prod$pini de priemontbindingen van m en n zijn, dan is
ggd(n,m) = $\prod$pimax{ni,mi}
kgv(n,m) = $\prod$pimin{ni,mi}
ggd(n,m)ˇkgv(n,m) = $\prod$pimax{ni,mi}+min{ni,mi}
nm = $\prod$pimi+ni
en vermits max{ni,mi}+min{ni,mi} = mi+ni is de gelijkheid bewezen...

4. Ik was vertrokken van twee elementen a en b, nu kan je nagaan dat a en b machten zijn van die e2$\pi$i/t, dus dat dat element de elementen a en b voortbrengt.

5. Kies twee elementen a en b uit H, construeer daaruit dat voortbrengend element (noem het v). Kies dan weer een element c dat niet voortgebracht wordt door v (dus dat geen macht is van v), pas dan die kgv-truc toe op c en v, zo krijg je w. Herhaal dit procédé een eindig aantal keren (H is immers een eindige groep!), uiteindelijk kom je op een element z uit dat een voortbrenger is van elk element van je groep.

Om een voorbeeld te geven: a = e5ˇ2$\pi$i/7 en b = e2$\pi$i/5, dan wordt v = e2$\pi$i/35. Stel dat c = e2$\pi$i/15 ook in H zit, c wordt niet voortgebracht door v, de berekening zal je dan w = e2$\pi$i/105 geven, enzovoort...

Groetjes,
Christophe.

Christophe
zondag 27 februari 2005

©2001-2024 WisFaq