\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Bewijs voor de afgeleide van een exponentiele functie

 Dit is een reactie op vraag 34216 
Maar wat is dan het bewijs dat ax = eu(x) waarbij u(x)=x(ln(a)).

Waar ik eigenlijk benieuwd naar was is de uitwerking van de formule ax invullen in de formule (f(x+h)-(f(x)))/h
waarbij h=1/oneindig. Dus:

(ax+h-ax)/h

daar komt op een gegeven moment, als het goed is, uit:
ax maal een breuk die een constante blijkt te zijn, namelijk ln(a).
Zodat het bewezen is. Maar zelf kwam ik er niet uit.

Liewe
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 23 februari 2005

Antwoord

Je eerste vraag.
Volgens een eigenschap van de logaritmen is: ln(ax) = x∑ln(a)
waaruit dan onmiddellijk volgt dat: ex∑ln(a) = ax
OF
schrijf a als macht van e.
Los daartoe p op uit: a = ep. Dit geeft: p =ln(a).
Dan is:
ax = (ep)x = ex∑p

Met je tweede vraag zitten we dicht bij de grondbeginselen van de exponentiŽle functies.
Belangrijk daarbij is ondermeer hoe de functie ex gedefinieerd is; en, daarmee samenhangend, de functie ln(x).
Om het eenvoudig te houden denk ik toch maar bovenstaande 'omschrijfwijze' voor ax te gebruiken.

Vooraf: ik gebruik de volgende eigenschap:
q34412img1.gif ......(*)
Kijk zelf eens hoe je die eigenschap kan bewijzen!!
Aanwijzing: bedenk dat e0 = 1 en gebruik ook de limietdefinitie voor de afgeleide van ex voor x = 0.

Zij f(x) = ax, dan is:
f(x + h) - f(x) = ax+h - ax = ax(ah - 1)
We moeten nu, na deling van bovenstaande uitdrukking door h, onderzoeken (jouw hierboven bedoelde breuk):
q34412img2.gif
Omgeschreven geeft dit:
q34412img3.gif
Hierin is de eigenschap (*) gebruikt; ga zelf na hoe!

Bewijs geleverd!


woensdag 23 februari 2005

©2001-2024 WisFaq