Differentiaalvergelijking (beweging van vallend object)

Ik heb het volgende probleem: Er wordt uitgegaan van de eerste wet van Newton. Snelheid is v. Tijdstip t bevindt zich in x(t).
Voor latere tijd geldt: x(t + dt) - x(t) = v · dt (1)
Dit snap ik
Hieruit volgt dat x(t + dt) - x(t) = v · dt
dus:
v = (x(t + dt) - x(t))/ dt
De snelheid van een deeltje v(t) is precies gelijk aan de afgeleide van de functie x(t) en het punt t
Geeft:
v(t) = (dx(t))/ dt = x`(t) (2)
(2) vloeit dus voort uit (1)
De versnelling is: v(t + dt) - v(t) = a · dt
dus:
a(t) = v'(t) (3)

Tot slot de tweede wet van Newton
F = m · a (8)
mv`(t) = ma`(t) = F(t)
v(t) = x`(t) en F(t) = mv`(t) (9)

Nu moet ik doormiddel van een differentiaalvergelijking laten zien dat wanneer ik een object van 1 meter hoogte laat vallen de grond raakt. Het natuurkundige gedeelte snap ik. Ik snap alleen niet hoe ik zonder de wet van behoud van E kan laten zien wanneer het object de grondt raakt. Please help me.
Bij voorbaat dank.

Annemi
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 23 februari 2005

Antwoord

Gebruik een assenstelsel met het middelpunt der aarde ergens op de negatieve z-as, en het object in de oorsprong.
Het object wordt dan door de aarde aangetrokken in de richting van de negatieve z-as: de versnelling van de zwaartekracht is ongeveer -9.8 m/sec².
Deze versnelling is de afgeleide van de snelheid, dus de snelheid (alleen in de richting van de negatieve z-as) wordt gevonden door v(t)=-9.8*t + c.
Omdat de snelheid van het object op het tijdstip van loslaten (t=0) 0 m/sec is, is c=0; dus v(t)=-9.8*t.
Deze snelheid is de afgeleide van de positie op de z-as, dus deze positie wordt gevonden door z(t)=-9.8*t²/2 + d.
Omdat de positie op de z-as op het tijdstip van loslaten (t=0) 0 meter is, is d=0; dus z(t)=-4.9*t².
Om te berekenen op welk tijdstip t het object de grond raakt, stelt men z(t) gelijk aan -1 meter.
Dus 4.9t²=1; daaruit volgt t=Ö(1/4.9)=Ö(10)/7 sec. 0.451754 sec.

vrijdag 25 februari 2005

©2001-2024 WisFaq