Re: Maantjes van Hippocrates

Dit is een reactie op vraag 22470

Ik snap niet waarom de eerste maantjes kwadreerbaar zijn. Hoe kun je dat bewijzen met een constructie.
Alvast bedankt.

Renate
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 januari 2005

Antwoord

Beste Renate,
Noem even voor het gemak de bovenste punt C, de linker A en de rechter B. Volgens Pythagoras is (AC)²+(CB)²=(AB)²
Dus ook:
Oppervlak halve cirkel op AC + Oppervlak halve cirkel op CB = Oppervlak halve cirkel op AB

Ofwel:
(I+II) + (IV+V) = II + III + IV
dus:
I+V=III

En omdat III kwadreerbaar is, is dus ook (I+V) kwadreerbaar, dus zijn (halveren!) ook I en V ieder apart kwadreerbaar.

Dan heb je misschien nog de vraag hoe het komt dat III te kwadreren is. Dit kan eventueel nog algemener door aan te tonen dat iedere driehoek kwadreerbaar is. Neem een willekeurige driehoek en vorm dit om tot een rechthoek. Dit kan door bv. een hoogtelijn te halveren. En aangezien een rechthoek kwadreerbaar is, is dus ook iedere driehoek te kwadreren.
Dit laatste kan dus ook gebruikt worden om het vierkant dat de kwadratuur is van III te halveren.

De stappen zijn dus:
- Kwadreer III
- Teken de diagonaal door het vierkant en
- Kwadreer een van de twee driehoeken uit de vorige stap.

De stap van pythagoras toepassen op de halve cirkels is misschien ook nog iets dat 'te snel' ging. Ik laat het nu eerst aan jou over om dit te bewijzen, kom je er niet uit stuur dan nog maar eens een reactie met daarin wat je zelf getracht hebt te doen.

M.v.g.
Peter Stikker

woensdag 26 januari 2005

©2001-2024 WisFaq