Afgeleide mbv Leibniz

Ik heb me helemaal blindgestaard op het volgende probleem dat waarschijnlijk opgelost moet worden met Leibniz. Tenminste, een oplossing waarin de formule van Leibniz gebruikt wordt, geniet de voorkeur.

De functies f en g op worden gegeven door
f(x) = x² sin x
g(x) = f⁽¹²⁰⁰⁾(x).

Bepaald g(0)

x² zal wel de f(x) zijn in de formule van Leibniz en sin(x) de g(x). Hoe kan ik deze afgeleide nou precies uitrekeken zonder rekenmachine?

Jorgen
Student universiteit - dinsdag 2 november 2004

Antwoord

De termen in het rechterlid van de regel van Leibniz zijn van de vorm

n!/[k!(n-k)!].p^(k)(x).q^(n-k)(x)

p(x) = x²
q(x) = sin(x)

Voor k=0 en k=1 zijn de afgeleiden van p in x=0 gelijk aan 0. Vanaf k=3 zijn de afgeleiden van p zelfs identisch (= voor alle x) gelijk aan 0. Enkel de term voor k=2 blijft dus over in de bepaling van g(0).

Lukt het zo?

dinsdag 2 november 2004

©2001-2024 WisFaq