\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vergelijking ellips opstellen als brandpunten en raaklijn bekend zijn

Hoi.
Kunnen jullie me aub helpen? Ik heb a.s. dinsdag een hertentamen en ik kom niet uit onderstaande opgave:

Gegeven : F1 (2,0) en F2 (-2,0) en x+2y=8.
Gevraagd: de vergelijking van de ellips, die de gegeven rechte raakt en die F1 en F2 als brandpunten heeft.

Tot nu toe heb ik dit:
Uit de brandpunten volgt, dat de ellips door de oorsprong gaat.
Algemene vergelijking van de ellips dan x2/a2 + y2/b2 = 1
Uit brandpunten volgt dat c=2, dus a2=b2+4
Raaklijn x+2y=8, ofwel y=-1/2x+4. Het is een raaklijn, heeft dus 1 raakpunt. Raakpunt echter onbekend. Je kunt daarvoor y=-1/2x+4 invullen in algemene ellipsvergelijking, maar daar kom je niet verder mee.
Raakpunt vind je vaak door vergelijking ellips = vergelijking raaklijn, maar daar kom je hier ook niet verder mee, je weet immers de complete ellipsvergelijking niet.
En met de normaal kom ik niet verder dan y=2x+constante.

Ik heb al allerlei wegen geprobeerd, maar ik kom geen steek verder.
Kan iemand me a.u.b. helpen?

Alvast heel hartelijk bedankt!

Groeten,
Boudewijn

Boudew
Student hbo - vrijdag 20 augustus 2004

Antwoord

Tot nu toe heb je dus als vergelijking van de ellips:
x2/(b2+4) + y2/b2 = 1
En als je nu eens x = 8 - 2y in die vergelijking subsitueert?
Je krijgt dan een 2e-graads vergelijking in y.
Zo'n vergelijking heeft meestal twee oplossingen. Maar omdat de lijn een raaklijn is geldt D = 0.
En dat geeft dan een (4e graads) vergelijking in b.
Na wat rekenwerk (...) kom ik op
b4 - 8b2 - 48 = 0.
En dat levert dan b2 = 12 (of b2 = -4).
Zodat de vergelijking van de ellips is:
x2/16 + y2/12 = 1


vrijdag 20 augustus 2004

©2001-2024 WisFaq