\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Integreren van diverse functies

Hoi, ik heb een aantal functies die ik moet primitiveren waar ik niet uitkom, ik hoop dat jullie me kunnen helpen!

ten eerste de functie sin2(x)·cos(x) - p cos (x), volgens mij komt deze van de standaardvorm g'(x) · g(x) maar verder heb ik geen idee oe ik deze functie moet aanpakken.

In deze categorie functies heb ik nog meer vragen, namelijk
sin (X) · cos2(X) en (p/cos2(X)) + 2 tan (x)

Verder kom ik ook niet uit de functie: 1/(xlnx) en (x3)/(x2+1)

Ik hoop dat iemand mij met (een van deze) functies kan helpen, ik heb namelijk donderdag hiervan een toets!

Bedankt!

Sofie
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 juni 2004

Antwoord

de aanpak is als volgt (we hakken je functies op, die uit meerdere componenten bestaan)

bij $\int{}$sin2x.cosx dx kun je de cosx als volgt naar achter de d halen:
... = $\int{}$sin2x dsinx

met andere woorden: een factor uit de integrand mag je achter de d halen door die factor te primitiveren.

Grote vraag is: WAT-o-wat is hier nou de lol van?
Wel, als je kijkt naar $\int{}$sin2x dsinx betekent dat zowat hetzelfde als $\int{}$x2dx.
Dit laatste betekent immers: dat je x2 moet primitiveren naar x. en dat is 1/3x3
En $\int{}$sin2x dsinx betekent dat je sin2x moet primitiveren naar sinx. en dat is 1/3(sinx)3 ofwel 1/3sin3x

Een andere manier om het te snappen is: Je kunt
$\int{}$sin2x dsinx lezen als $\int{}$y2 dy. en dat is 1/3y3.

Nu even terug naar jouw 1e probleem:
$\int{}$sin2x.cosx -p.cosx dx (hak deze in stukken)
= $\int{}$sin2x.cosx dx - $\int{}$p.cosx dx
= $\int{}$sin2x dsinx - [p.sinx]
= [1/3sin3x - p.sinx]

Nu het tweede probleem:
$\int{}$sinx.cos2x dx
Hier kun je de sinx achter de d brengen door deze te primitiveren:
= $\int{}$cos2x d(-cosx)
de '-' mag je naar voren halen:
= -$\int{}$cos2x dcosx (en deze kun je lezen als -$\int{}$y2dy)
= -[1/3cos3x]

Derde probleem. (ietsje lastiger)
$\int{}$p/cos2x + 2tanx dx.
ophakken in stukken:
= $\int{}$p/cos2x dx + $\int{}$2tanx dx
De eerlijkheid gebied me te zeggen dat ik zo even niet weet hoe je kunt beredeneren dat de primitieve van 1/cos2x gelijk is aan tanx. Maar een standaard-afgeleide is [tanx]'=1/cos2x en die onthoud ik gewoon altijd.

dan het stukje 2tanx = 2.sinx/cosx
$\int{}$2tanx dx = $\int{}$2.sinx/cosx dx = (sinx primitiveren)
= 2$\int{}$1/cosx d(-cosx)
= -2$\int{}$1/cosx dcosx.
Dit is te lezen als -2.$\int{}$1/y dy = [-2.ln|y|]
Dus de uitkomst is [-2ln|cosx|]

tot slot:
$\int{}$1/xlnx dx = $\int{}$(1/x).(1/lnx)dx (1/x primitiveren)
= $\int{}$(1/lnx) d(lnx) (is te lezen als ...., dus eindantwoord = ...)

en $\int{}$x3/(x2+1) dx = $\int{}$x.x2/(x2+1) dx (de x primitiveren)
= $\int{}$x2/(x2+1) d(1/2x2)
= 1/2$\int{}$x2/(x2+1) dx2 is te schrijven als ....

pas n$\int{}$g een truc toe: x2/(x2+1) is hetzelfde als
(x2+1-1/(x2+1) = (x2+1)/(x2+1) - 1/(x2+1)

enz...
groeten,

martijn

mg
zondag 20 juni 2004

 Re: Integreren van diverse functies 

©2001-2024 WisFaq