Matrices (oef toelatingsex burg)
Opgave
-------
Zij gegeven 1 1 0
A = 0 1 0 Î  3*3
0 0 1
(i) toon aan dat A inverteerbaar is
(ii) Bepaal voor alle n Î  , An en motiveer uw antwoord
(iii) Toon aan dat er reële getallen a en b bestaan zodat
A2+ aA + BI = 0
(hierbij zijn I en 0, respectievelijk, de eenheidsmatrix en de nulmatrix in 3*3
(iv) Toon aan dat voor alle n Î, er reële getallen an, an-1,...,a0 bestaan zodat: A-n = anAn + an-1An-1+...+ a1A + a0I
EN bepaal deze getallen expliciet
Wat ik reeds vond
-------------------
(i) 1 -1 0
A-1= 0 1 0
0 0 1
(ii) 1 n 0
An= 0 1 0
0 0 1
want doordat An= A*A*A*... (n factoren) , doe je steeds eerste rij * tweede kolom.
(iii) a= -2
b= 1
(iv) Hier zit ik jammer genoeg vast.
Ik vermoed dat ik elementen uit (ii) moet gebruiken. Maar ik weet echt niet hoe te beginnen.
Bert G
3de graad ASO - donderdag 15 april 2004
Antwoord
Uit (i) volgt dat (ii) ook geldt als n Î .
Uit (iv) volgt dan een stelsel van 2 vergelijkingen met n+1 onbekenden.
an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1 + a0 = 1
n.an + (n-1)an-1 + (n-2)an-2 + ... + 2a2 + a1 = -n
In matrixvorm:
We maken deze matrix rijcanoniek :
Er zijn dus oneindig veel oplossingen voor de onbekenden an,an-1,an-2,...,a2,a1,a0
an en an-1 zijn de hoofdonbekenden
De andere zijn nevenonbekenden die we dus gemakkelijkheidshalve kunnen gelijk stellen aan 0.
Dan is an = 1-2n en an-1 = 2n.
Bijvoorbeeld :
A-7 = -13.A7 + 14.A6
donderdag 15 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Matrices (oef toelatingsex burg)