\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Wortels uit negatieve getallen

Hoe reken ik een negatieve wortel uit? Dit moet kunnen bij de formule van Cardano.

Michie
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 20 maart 2002

Antwoord

Eerst even een kleine correctie: negatieve wortels zijn doodnormaal. Wat denk je bijv. van -√6 ?
Je bedoelt natuurlijk: wortels uit negatieve getallen.

Wel, in de eerste plaats moet je je goed realiseren dat getallen gewoon door mensen bedacht zijn. Het zijn niets meer of minder dan symbolen waarmee je volgens bepaalde regels kunt manipuleren, en dat heet dan 'rekenen'.

En zo heeft men op een bepaald moment in de geschiedenis bedacht om aan √-1 de uitkomst i te geven. Men moest natuurlijk een nieuw symbool bedenken, want het was al wel bekend dat het met de getallen die men toen kende onmogelijk was om de wortel uit -1 te trekken.

De keuze voor de letter i is gerechtvaardigd, omdat men het een imaginair getal ging noemen. Imaginair betekent namelijk zoiets als denkbeeldig.

Het eerste gevolg van de gemaakte afspraak is in het begin vreemd: i x i = -1. Dit lijkt te botsen met wat je al jaren van je wiskundeleraar hoort: kwadraten kunnen niet negatief zijn! Probeer echter te bedenken dat dit een opmerking was die op 'gewone' getallen sloeg. Met de introductie van i blijkt het getal onder het wortelteken ineens wl negatief te kunnen worden. Effe wennen dus!

De geschiedenis laat trouwens zien dat deze nieuwlichterij niet bepaald enthousiast werd ontvangen. Toen men er eenmaal een beetje aan gewend was, bleken er bijzonder spectaculaire resultaten mee te bereiken. De niet zo enthousiaste ontvangst van deze nieuwe soort getallen is op zich natuurlijk niet zo vreemd. Wie voor het eerst in zijn leven met negatieve getallen of met gewone wortelvormen kennismaakt, heeft toch ook vaak wat moeite om ze te doorgronden.

Nu dus √-1 is 'uitgevonden', gaat het daarna eigenlijk vanzelf. Bijvoorbeeld:
√-5 = √(-1 x 5) = √-1 x √5 = i√5
Of:
(2+i).(3-i)= 6 -2i + 3i -i2=6+i -(-1)=7+i
En als laatste:
√(5+12i)=3+2i want (3+2i).(3+2i)=9 + 6i + 6i + 4i2 = 9 + 12i -4 = 5 + 12i

Het frappante is dat een heleboel stellingen die ooit zijn bewezen voor de traditionele getallen, geldig blijven als je de imaginaire getallen toelaat. Later is men de imaginaire getallen overigens 'complexe getallen' gaan noemen. En als je toevallig met de TI83 werkt op school: onder de knop 'mode' tref je op de een na laatste regel de mogelijkheid aan om met complexe getallen te rekenen. Hoe het met de andere grafische machines zit weet ik niet, maar ze kunnen het vast ook.

MBL
donderdag 21 maart 2002

©2001-2022 WisFaq