\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Differentiaalvergelijkingen 3 Pittige!

Beste Meneer, Mevrouw,

Ik krijg (na een weekend ploeteren)het niet voor elkaar om de juiste uitwerkingen te verkrijgen van de volgende DV's:

dy/dx = ((2xy)/(x2+1))+4
Onder de beginvoorwaarde y(1)=4$\pi$
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=4(arctanx)(x2+1)+$\pi$(x2+1)

(3x2)(dy/dx)+xy-1=0
Onder de beginvoorwaarde y(1)=5/2
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=(1/-2x)+(3x)-1/3

(dy/dx)=(e^(-x+cosx))-ysinx
Onder de beginvoorwaarde y(0)=2e
Het antwoordt zou moeten zijn:
y(x)=3e^(cosx)-e^(-x+cosx)

Weet U misschien 1 of meerdere uitwerkingen.

Alvast Bedankt!

Martij
Student hbo - maandag 8 maart 2004

Antwoord

Op
http://www.sosmath.com/diffeq/first/lineareq/lineareq.html
staat de algemene manier te lezen om dit soort 1e orde dv's op te lossen. Laten we deze lijn eens aanhouden.

opgave 1.
dy/dx + (-2x/(x2+1)).y = 4
dus q(x)=4, en u(x)=exp($\int{}$p(x)dx)
(met p(x)=-2x/(x2+1))

u(x)=exp($\int{}$p(x)dx)=exp(-$\int{}$2x/(x2+1) dx)
=exp(-ln(1+x2)) = 1/(1+x2)

dus y(x)= (1/u(x))·{$\int{}$u(x)q(x)dx + C}
= (1+x2)·{$\int{}$(4/(1+x2))dx + C}
= (1+x2)·4.arctan(x) + C.(1+x2)

rvw: y(1)=4$\pi$
2·4·arctan(1)+C.(2) = 4$\pi$ $\Leftrightarrow$
8·($\pi$/4) + 2C = 4$\pi$ $\Leftrightarrow$
C=$\pi$

hieruit volgt dat
y(x)= (1+x2)·4.arctan(x) + $\pi$.(1+x2)

=================================
opgave 2:

(3x2)dy/dx + xy -1 = 0
deze moet je eerst weer in de gedaante van
dy/dx + p(x)y=q(x) omzetten:

(3x2)dy/dx + xy = 1 $\Leftrightarrow$
dy/dx + (x/3x2).y = 1/3x2 $\Leftrightarrow$
dy/dx + (1/3x).y = 1/3x2

dus q(x)=1/3x2 en p(x)=1/3x

etc....

zou je t van hieraf weer zelf verder kunnen?

groeten,
martijn

mg
dinsdag 9 maart 2004

©2001-2024 WisFaq