\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Minimale oppervlakte van een literblik

Gegeven: een cilindervormig conservenblik met een inhoud van 1 liter. Zoek uit bij welke diameter en hoogte een minimale hoeveelheid blik nodig is. Zou u me kunnen helpen?

Imp
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 20 juli 2001

Antwoord

Eerst maar eens een formule voor de inhoud van een cilinder:
  • $
    inhoud = \pi \cdot r^2 \cdot h
    $
Bij een inhoud van 1 dm≥ geeft dat:
  • $
    \eqalign{\pi \cdot r^2 \cdot h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}
    {{\pi \cdot r^2 }}}
    $
Nu de formule voor de oppervlakte (inclusief bodem en deksel):
  • $
    oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2
    $
Vul $
\eqalign{h = \frac{1}
{{\pi \cdot r^2 }}}
$ in de bij de formule voor de oppervlakte:
  • $
    \eqalign{
    & oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
    & oppervlakte = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1}
    {{\pi \cdot r^2 }} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr
    & oppervlakte = \frac{2}
    {r} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cr}
    $
Dan bereken je de afgeleide:
  • $
    [oppervlakte]^{\,|} = - \frac{2}
    {{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r
    $
Stel de afgeleide op nul en los op:
  • $
    \eqalign{
    & - \frac{2}
    {{r^2 }} + 4 \cdot \pi \cdot r = 0 \cr
    & - 2 + 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 0 \cr
    & 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 2 \cr
    & r^3 = \frac{1}
    {{2\pi }} \cr
    & r = \root 3 \of {\frac{1}
    {{2\pi }}} \cr
    & r \approx {\text{0}}{\text{,541925}} \cr}
    $
Even een tekenverloop tekenen... om te controleren dat het hier inderdaad een minimum betreft...

h is dan ongeveer 1,08385 dm

De inhoud is 1 dm3 en de oppervlakte is ongeveer 5,536 dm≤


vrijdag 20 juli 2001

Re: Minimale oppervlakte van een literblik
Re: Minimale oppervlakte van een literblik

©2001-2022 WisFaq