\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bestaansbewijs en bewijs door uitputting

Ik moet voorbeelden van soorten bewijzen zoeken, zoals volledige inductie, tegenvoorbeeld,...
Mijn vraag nu is; kunt u mij een voorbeeld geven van een bewijs door uitputten en een bestaansbewijs?
Ik heb al overal gezocht, in de bibliotheek, in verschillende handboeken van wiskunde, op internet etc..
Maar, nog steeds niets gevonden Kunt u mij AUB helpen?

Charlo
2de graad ASO - dinsdag 7 oktober 2003

Antwoord

Bij de term 'uitputten' zou het wellicht om het volgende kunnen gaan.
Het getal $\pi$ is per definitie de oppervlakte van een cirkel met straal 1. Door een cirkel inwendig te benaderen door regelmatige ingeschreven veelhoeken met een steeds verdubbelend aantal zijden (dus vierkant, achthoek, zestienhoek enz.) en daarvan steeds de oppervlakte te berekenen, krijg je een steeds nauwkeuriger benadering van $\pi$.
Daarna kun je hetzelfde doen met omgeschreven regelmatige veelhoeken. De waarde van $\pi$ zal de limiet zijn van de series oppervlaktegetallen.
De methode is al door Archimedes toegepast (t/m een 96-hoek) en hij noemde het al de uitputtingsmethode.

Bestaansbewijzen komen in de zuivere wiskunde vrij vaak voor.
Voorbeelden:
  • Als V een naar boven begrensde verzameling reŽle getallen is, dan bestaat de kleinste bovengrens van V.
  • Als f een reŽle continue functie is op [a,b] en c is zo gekozen dat f(a) $<$ c $<$ f(b) , dan bestaat er een x$\in$[a,b] waarvoor f(x) = c
  • Als a en b twee priemgetallen zijn, dan bestaan er gehele getallen x en y zodanig dat x.a + y.b = 1
Het lastige van existentiebewijzen is meestal dat er slechts wordt uitgesproken dat 'iets' bestaat.
Maar vaak is het weten dat 'iets' bestaat niet hetzelfde als het concreet vinden.

MBL
dinsdag 7 oktober 2003

©2001-2022 WisFaq