$\mathbf{R}$ ,+,x,$ \le $ is een volledig Archimedisch geordend veld. Volledig geordend veld begrijp ik nog, maar "Archimedisch" begrijp ik niet. Er zijn dus ook niet Archimedische velden?
De Archimedische eigenschap: x,y $\in $ $\mathbf{R}$ , $\exists $ n $\in $ $\mathbf{N}$ : nx $>$ y
Wat is de betekenis hiervan m.b.t. het geordend veld?
Geys F
Iets anders - donderdag 21 december 2023
Antwoord
De Archimedische eigenschap komt rechtstreeks uit Boek V van De Elementen van Euclides. Die beschrijft de verhoudingenleer van Eudoxos en in Definitie 4 is de oorsprong van wat nu de Archimedische eigenschap heet (in de vertaling van Dijksterhuis): Men zegt, dat grootheden een reden tot elkaar hebben, die, vermenigvuldigd, elkaar kunnen overtreffen.
In het begin werkten de Grieken met verhoudingen die rationaal waren, dat wil zeggen gelijk aan de verhouding van twee natuurlijke getallen. Maar veel verhoudingen zijn dat niet, die tussen de diagonaal en een zijde van een vierkant bijvoorbeeld. Als twee grootheden $x$ en $y$ een verhouding hebben en de grootheden $u$ en $v$ ook, kun je met behulp van Definitie 5 onderzoeken of de verhoudingen gelijk zijn of welke van de twee verhoudingen groter is.
Dat wordt tegenwoordig eigenlijk nog steeds zo gedaan want de Archimedische eigenschap impliceert dat tussen elk tweetal reële getallen een rationaal getal ligt.
Ten slotte: de volledigheid impliceert de Archimedische eigenschap: als je positieve $x$ en $y$ zou hebben met $nx < y$ voor alle $n\in\mathbb{N}$ neem dan $z=\sup\{nx:n\in\mathbb{N}\}$. Dan geldt $z-1 < z$ dus is er een $n$ met $z-1 < nx$, maar dan $z < (n+1)x$ en dat geeft een tegenspraak.
