Kunnen we besluiten dat de standaardbasisvectoren en voor elke verzameling Rn een basis zullen zijn? Echter is dit dan strijdig met de stelling die zegt dat wanneer we een basis vinden met minder dan n elementen, alle basissen hetzelfde aantal elementen zullen hebben. Alvast bedankt.
Studen
Student universiteit België - dinsdag 22 augustus 2023
Antwoord
De naam zegt het al: de standaardbasisvectoren vormen een basis voor $\mathbb{R}_n$. Je notatie is wat ongelukkig het klinkt, door het gebruik van alleen maar $e_n$ dat die vectoren onafhankelijk van de $\mathbb{R}_n$ bestaan. Maar elke $\mathbb{R}_n$ heeft zijn eigen stel standaardbasisvectoren: $\{e_1,\ldots,e_n\}$, en elke $\mathbb{R}_n$ heeft weer een eigen $e_1$, in $\mathbb{R}_2$ geldt $e_1=(1,0)$, in $\mathbb{R}_4$ geldt $e_1=(1,0,0,0)$, enzovoort.
Je tweede `stelling' klopt niet helemaal; de voorwaarde "wanneer we een basis vinden met minder dan n elementen" is niet nodig. De stelling zegt gewoon: alle basissen van een vectorruimte hebben hetzelfde aantal elementen. Je kunt dus voor de $\mathbb{R}_n$ geen basis vinden met minder dan $n$ elementen.
