Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Convergentie vraagstuk

Hallo

ik moet de zoeken of de reeks van 1 tot $\infty $ van 1/ln(cosh(n)).

convergeert of divergeert.

ik ben niet zeker of mijn aanpak klopt.

ik heb cosh(n) herschreven als (en+e-n)/2 dan gezegd dat en+e-n $\sim $ en,n $\to $ $\infty $ en dan gezegd n-ln(2) $\sim $ n,n $\to $ $\infty $ zodat je deze reeks kan herleiden op oneindig tot de harmonische reeks 1/n die divergeert.

Graag feedback op deze aanpak of verbetering.

Mike
Student universiteit België - donderdag 14 april 2022

Antwoord

Zo zou ik het op kladpapier doen, maar als ik het uit zou moeten leggen zou ik toch eindigen met netjes de limiet van het quotiënt te bepalen (en in de eerste stap de breuk wat opknappen):
Eerst $\ln\cosh n$ wat omschrijven: $\cosh n=e^n\cdot(1+e^{-2n})\cdot\frac12$,
dus $\ln\cosh n=n+\ln(1+e^{-2n})-\ln2$, en dus
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\cosh n}{n}=
\lim_{n\to\infty}\frac{n+\ln(1+e^{-2n})-\ln2}{n}= \ldots =1
$$Het probleem is namelijk dat je tweede stap nog een stelling gebruikt, namelijk
als $\eqalign{\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1}$ dan $\eqalign{\lim_n\frac{\ln a_n}{\ln b_n}=1}$. Geldt die stelling universeel?

kphart
vrijdag 15 april 2022

 Re: Convergentie vraagstuk 

©2001-2024 WisFaq