Mogelijkheden met n verschillende kleuren in een ruimtelijk figuur
Hoi! Ik hoop dat ik het in de juiste categorie vraag.
Het gaat dus over de stelling van burnside (het aantal echt verschillende kleuringen is gelijk aan het aantal invariante kleuringen per symmetrie). Ik heb nu een opdracht (waarvan ik de antwoorden niet heb) over een 2m + 1-zijdig prisma en 2 kleuren. De opdracht is 'maak een formule in m voor het aantal echt verschillende kleuringen van het prisma'
Een opdracht hiervoor heb je gewerkt met een 3zijdig prisma, daaruit kwam de formule vanuit n: 1/6 (n5 + 5n3). Dus je moet ongeveer hetzelfde krijgen. met 1/a (nb + anc)
Als eerst kijk ik naar het aantal symmetrieën (a) dat een 2m+1-zijdig prisma heeft. m = 1 heeft 6 sym, m = 2 heeft er 10 en m = 3 heeft er 14. Hieruit komt iets met m, volgens mij: 4m + 2
Vervolgens kijk ik naar het aantal vlakken (b), m = 1 heeft 5 vlakken, m = 2 heeft 7 vlakken en m = 3 heeft er 9; dus hieruit komt denk ik 2(m+1)+1
Tot slot kijk ik per draaisymmetrie naar het aantal vlakken dat verschillend moet zijn (c), bij m = 1 zijn dit er 3, bij m = 2 zijn dit er 4 en bij m = 3 er 5, dus hieruit komt m + 2
Dus hieruit kun je 1/a (nb + anc) invullen, waarbij n = 2, maar ik weet niet of de gegevens van a, b en c kloppen en of ik dit op de juiste manier aanpak. Hopelijk kan iemand mij hier vandaag nog helpen (morgenochtend heb ik t mondeling oeps)
Anouk
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 februari 2022
Antwoord
Het is wat ingewikkelder. Er zijn inderdaad $4m+2$ symmetrieën: $2m+1$ rotaties, en $2m+1$ spiegelingen.
De spiegelingen zijn ten opzichte van lijnen die, als je van boven kijkt door een punt en het midden van de zijde er tegenover gaan. Zo'n spiegeling houdt $2\times2\times2^m$ kleuringen invariant: een kleur voor de ene zijde, onder- en bovenkant dezelfde kleur, en alle mogelijke kleuringen van de $m$ zijden links.
Voor de rotaties is het lastiger: in ieder geval een factor $4$ voor de kleuringen van onder- en bovenkant. De identieke afbeelding houdt alle kleuringen invariant en draagt dus $4\times2^{2m+1}$ bij. Neem $d$ met $1\le d\le m$ en bekijk een rotatie $\rho$ over $d$ vlakken (dat zijn er twee: linksom of rechtsom). Neem ook de grootste gemene deler, zeg $e$ van $d$ en $2m+1$. Dan houdt $\rho$ precies dezelfde kleuringen invariant als de rotatie $\varrho$ over $e$ vlakken, en dat zijn er $4\times 2^e$.
Nu kun je gaan optellen: de aantallen kleuringen bij de spiegelingen geven bij elkaar $(2m+1)\times4\times2^m$ in de Burnside-formule. Voor de identieke afbeelding krijgen we $4\times2^{2m+1}$. Voor elke deler $e$ van $2m+1$ tellen de de getallen $d$ met $\operatorname{ggd}(d,2m+1)=e$, noem dat aantal $N_e$. Elke deler draagt dus $2\times4\times2^e\times N_e$ bij aan de som.
Dit totaal moet je door $4m+2$ delen.
Voor die som is niet makkelijk een gesloten formule te maken. Als $2m+1$ een priemgetal is gaat het makkelijker dan bij een samengesteld getal als $3\times5\times7$, of $3^4$. Probeer maar eens wat speciale gevallen om te zien wat er gebeurt.
