Ja, Klaas Pieter, het antwoord in de cursus is derhalve verkeerd. Toch vind ik nog moeilijkheden bij het afwerken Het antwoord in de cursus zou dan 2+y2+C√(x2+2) geweest zijn. Waaraan is de oplossing dan finaal gelijk nu ? Groetjes en dank voor je tijd.
Rik Le
Iets anders - zaterdag 20 november 2021
Antwoord
De nieuwe differentiaalvergelijking wordt $$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x- \left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} + \frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\right)\,\mathrm{d}y=0 $$Deze is inderdaad exact: $$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{y}{(y^2+2)^{\frac32}} =\frac{\partial N}{\partial x} $$Voor het oplossen moeten we $\int M\,\mathrm{d}x$ en $\int N\,\mathrm{d}y$ hebben. De eerste is makkelijk: $$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x = \frac x{\sqrt{y^2+2}} + h_1(y) $$De tweede is $$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y+ \int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y =\frac x{\sqrt{y^2+2}}+ \int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y $$we vinden dus: $$h_1(y)=\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y $$We gebruiken partiëele integratie: $$\int(y^2+y)\cdot-\frac y{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y =(y^2+y)\cdot\frac1{\sqrt{y^2+2}}-\int\frac{2y+1}{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y $$Met $\int\frac y{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\sqrt{y^2+2}$, en $\int\frac 1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\ln(y+\sqrt{y^2+2})$ (tabel) komen we op $$\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y =\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2}) +C $$De totale oplossing is dus $$\frac x{\sqrt{y^2+2}}+ \frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2})=C $$Met zorgvuldig partieel differentiëren zul je zien dat dit de oplossing van de exacte differentiallvergelijking aan het begin is.
Dit is een reactie op vraag 92906 
