'Twee mensen gaan zitten in twee zalen met elk 144 zitjes, de ene 1 lange lijn en de andere opgedeeld in 12 rijen van 12 zitjes. In welke zaal is de kans het grootst dat ze naast elkaar zitten (boven/onder elkaar telt niet)?'
De kans dat ze in de eerste zaal naast elkaar zitten is 1/67 - 2 personen op 1 rij van 144
De kans dat ze in de tweede zaal naast elkaar zitten is 1/78 - 2 personen verdeeld over 12 rijen van 12
Voor de eerste zaal rekende ik eerst alle mogelijke opties uit: n·(n-1), n is het aantal zitplaatsen op de rij. Daarna de mogelijkheden om naast elkaar te zitten: (n-1)·x, x is het aantal personen. Hierna deelde ik deze door elkaar: (x(n-1))/(n(n-1)) = x/n $\Rightarrow$ 2/144 = 1/67
voor de tweede zaal berekende ik het aantal mogelijkheden om naast elkaar te zitten per rij en telde deze op: y(x(n-1)), y is het aantal rijen. Daarna alle zit mogelijkheden berekenen: z(z-1), z is het totaal aantal plaatsen. Om hierna de mogelijkheden om naast elkaar te zitten door alle zit mogelijkheden te delen: (y(x(n-1)))/(z(z-1)) $\Rightarrow$ (12·2·(12-1))/(144(144-1)) = 264/20592 = 1/78
In conclusie; de kans dat ze naast elkaar zitten is groter in zaal 1 (de lange rij).
zitten er fouten in mijn gedachtegang of berekeningen, is er nog een andere methode dan de mijne? Alvast bedankt Toon
Toon S
Iets anders - zondag 8 november 2020
Antwoord
Hallo Toon,
In je eerste berekende kans zit een rekenfout: 2/144 = 1/72, niet 1/67.
Je formules kloppen alleen voor x=2. Wanneer 2 mensen op 2 uitgezochte stoeltjes gaan zitten, dan zijn hiervoor 2 mogelijkheden. Vandaar dat in je formule een vermenigvuldiging met 2 voorkomt. Maar als 3 mensen op 3 stoelen gaan zitten (dus: met x=3), dan zijn hiervoor 3·2=6 mogelijkheden voor. De vermenigvuldiging met x is dan onjuist.
Gemakkelijker is om je niet te bekommeren om onderlinge verwisselingen, maar te kijken naar het aantal mogelijkheden waarop 2 stoeltjes al dan niet naast elkaar worden gekozen. We hebben dan te maken met combinaties. Het totaal aantal mogelijkheden om in een rij van 144 stoeltjes 2 willekeurige stoeltjes te kiezen, is het aantal combinaties van 2 uit 144. Dit aantal is 10296. Het aantal mogelijkheden om twee stoeltjes naast elkaar te kiezen, is 143 (1+2, 2+3, 3+4, ..., 143+144). De kans dat twee stoeltjes naast elkaar worden gekozen, is 143/10296=1/72. Voor beide mogelijkheden (willekeurig of naast elkaar) geldt dat de personen op 2 manieren kunnen plaatsnemen. Voor de kansberekening maakt het dus niet uit of je die twee manieren apart wilt tellen of niet. Op gelijksoortige wijze kan je het aantal mogelijkheden berekenen waarop je in een rij van 12 stoelen 2 stoelen naast elkaar kunt kiezen. Voor 12 rijen moet je dit aantal met 12 vermenigvuldigen.
Nog sneller is om te bedenken dat bij één rij van 144 stoelen de stoelnummers 12+13 naast elkaar staan, evenals de stoelnummers 24+25, 36+37 enz. Bij 12 losse rijen van 12 stoelen staan deze stoelen niet naast elkaar. Bij één rij van 144 stoelen zijn dus meer mogelijkheden om naast elkaar te zitten. Zonder rekenen kan je dan al concluderen dat de kans op naast elkaar zitten bij één lange rij groter is dan bij 12 kortere rijen.
