\require{AMSmath}


Printen

Koppels verdelen over een te grote tafel

Vier koppels gaan zitten aan een te grote tafel. Er zijn namelijk tien plaatsen. Elk persoon wil ook nog naast zijn/haar partner zitten. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Eerst moet ik dus gewoon zien hoe je 8 verschillende personen kan verdelen over 10 plaatsen. Hier dacht ik dat het een herhalingspermutatie (met 2 herhaalde elementen) was, want er zijn 10 stoelen met 8 verschillende personen en 2 identieke lege stoelen, dus (10!/2!).

Nu moet ik hiervan enkel de mogelijkheden nemen waarbij ieder koppel naast elkaar zit. Hier loop ik vast. Zouden jullie me kunnen helpen hoe ik hier verder ga? (De uitkomst moet 7680 worden...)

Indien er een eenvoudigere manier zou zijn om dit vraagstuk op te lossen, wil ik het natuurlijk graag weten!

Juwel
3de graad ASO - zondag 1 november 2020

Antwoord

Laten we aannemen dat de tafel rond is en nummer de stoelen even $1$ tot en met $10$ (als een klok met maar tien in plaats van twaalf uren).

De twee lege stoelen kunnen direct naast elkaar staan, zeg nummers $1$ en $2$. In dat geval krijg je $4!\cdot2^4$ tafelschikkingen: zet de vier paren neer ($4!$) en kies per paar wie links/rechts zit ($2^4$).

De twee lege stoelen kunnen ook met twee stoelen ertussen staan, nummers $1$ en $4$ zijn leeg. Dan krijg je weer $4!\cdot 2^4$ schikkingen.

Ten slotte kunnen $1$ en $6$ leeg blijven en dat geeft weer $4!\cdot2^4$ manieren.

Als je vindt dat tafelschikkingen die door roteren uit elkaar ontstaan eigenlijk hetzelfde zijn dat ben je nu klaar: $3\cdot4!\cdot2^4=1152$ tafelschikkingen.

Als je vindt dat roteren wel verschil maakt dat geeft de mogelijkheid met twee lege stoelen naast elkaar er $10\cdot4!\cdot2^4$.

De tweede mogelijkheid ook.

De derde mogelijkheid geeft maar $5\cdot4!\cdot2^4$ verschillende schikkingen omdat van de $4!\cdot2^4$ er telkens twee dezelfde verzameling geroteerde schikkingen opleveren.

Ik kom dan uit op $25\cdot4!\cdot2^4=9600$ mogelijkheden.

kphart
maandag 2 november 2020


©2001-2021 WisFaq