Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Kromme en asymptoten bepalen

Beste,

Gegeven zijn twee positieve getallen p,q zodat:
(q3 arctan(p/q))/3 = $\pi$/12. Gevraagd wordt om een relatie tussen p en q te vinden en van daaruit de kromme bepalen (en diens asymptoten) die door alle punten (p,q) gaat waarvoor deze relatie geldt.

Ikzelf ben uitgekomen op de relatie: p = q tan($\pi$/4q3) met q $>$ 1/(2^1/3). De reden voor deze voorwaarde van q is omdat ik dacht dat de arctan als bereik hoogstens waarden van $\pi$/2 kan geven. Dan heb ik als kromme: f(u) = (u tan($\pi$/4u3, u) met u $>$ 1/(2^1/3). Nu lijkt de voorwaarde van u niet helemaal te kloppen want als ik een u kleiner kies dan 1/(2^1/3) krijg ik waarden van p,q die wel aan de relatie blijken te voldoen? Daarnaast weet ik ook niet hoe we de asymptoten kunnen bepalen van deze kromme. Hulp is gewenst, hartelijk bedankt.

Kees
Student universiteit - zondag 8 december 2019

Antwoord

Dag Kees,

Het bereik van arctan is $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ dus dat levert je inderdaad een voorwaarde op $q$, namelijk:
$$\frac{\pi}{4q^3}\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) \iff q \in \left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty\right)$$Maar aangezien de opgave $q$ (en $p$) positief vraagt, heb je dus enkel $q $>$ \tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Je kan het verband dan inderdaad oplossen naar $p$ i.f.v. $q$:
$$p=q\tan\left(\frac{\pi}{4q^3}\right) \quad\quad,\quad q \in \left(\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}} , +\infty\right)$$Merk nu het asymptotisch gedrag op:
  • als $q \to \tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ (van rechts/boven), dan gaat het argument van de tangens naar $\tfrac{\pi}{2}$ (van links/onder) en dus $p$ naar...
  • als $q \to +\infty$, dan gaat het argument van de tangens naar $0$ en dus ook $p$...
mvg,
Tom

td
zondag 8 december 2019

©2001-2024 WisFaq