Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Hulpmiddelen

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Plaatjes en verhalen

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat

Wiskundeleraar


\require{AMSmath}

Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

Ik probeer de volgende stelling te bewijzen (in eerste instantie via formulemanipulatie):

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right)
$

Ik weet dat ik n boven k kan extraheren omdat:

$
\eqalign{\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k} \right)!}}}
$

Maar daarna loop ik vast. Kan iemand mij hierbij helpen?
Alvast hartelijk dank.

John B
Student universiteit - vrijdag 1 juni 2018

Antwoord

Dat gaat zo:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) =
$
$
\eqalign{\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}} =}
$
$\eqalign{
(n - k + 1)(n - k + 2)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} +...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + 2k\left( {n - k + 2} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} + ...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + k(k - 1)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n - k + 1)(n - k + 2) + 2k\left( {n - k + 2} \right) + k(k - 1)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n + 1)(n + 2)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n! \cdot (n + 1)(n + 2)}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right)
}$

Kijk maar 's goed! Reageren mag altijd...

Naschrift
Een goede vraag zou zijn: 'wat is het algemene principe van deze aanpak?'.

WvR
vrijdag 1 juni 2018

 Re: Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs 

©2001-2023 WisFaq