Ik vroeg me af wat nu precies het verschil is tussen de volgende opgaves:
Opgave 1: Hoe snel verandert de oppervlakte van een rechthoek als zijde x 10cm is en met 2cm/s toeneemt en zijde y 8cm is en met 3 cm/s afneemt.
De formule die je dan opstelt is: Verandering van de oppervlakte in functie van de tijd: dO/dt
Opgave 2: Met welk percentage neemt de oppervlakte van een cirkel toe als de straal met 2% toeneemt.
Hier ga je dan op zoek naar dO/O
Mijn vraag is nu: Bij opgave 2 is dO de toegenomen/afgenomen hoeveelheid oppervlakte, die je dan gaat vergelijken met de totale, oorspronkelijke oppervlakte om een percentage te bekomen. Maar wat stelt die dO/dt in de eerst opgave voor? Is dO de toegenomen/afgenomen oppervlakte en dt de tijd die daarvoor nodig is?
Deze sommen gaan, zo te zien, beide over lineaire benaderingen. Het verschil tussen de twee sommen is dat de eerste naar een absolute verandering vraagt en de tweede naar een relatieve verandering. We noteren de verandering meestal als $\Delta O$; de eerste vraag wil $\Delta O$ weten en de tweede vraag wil $(\Delta O)/O$ hebben. Je boek vertelt ongetwijfeld dat $\Delta O$ benaderd kan worden met $dO$, de differentiaal. In het eerste geval kun je $dO$ op twee manieren uitdrukken (de manieren komen vrijwel op hetzelfde neer). Vat $O$ op als functie van twee variabelen, $O(x,y)=x\cdot y$; dan volgt $$ dO=y\cdot dx+x\cdot dy $$(vul nu in: $x=10$, $y=8$, $dx=2$ en $dy=-3$). Alternatief schrijf $x$ en $y$ als functies van $t$: $x(t)=10+2t$ en $y=8-3t$, dan volgt $O(t)=(10+2t)(8-3t)$. Dan geldt $\Delta O=O(1)-O(0)$ en die benader je met $O'(0)\cdot 1$. In feite is $dO/dt=O'(t)$ de factor waar je $dt$ mee vermenigvuldigt om de verandering te krijgen, dus $dO$ is de verandering over tijd $dt$.
De tweede vraag: $O=\pi r^2$, de verandering in $r$ is nu $r/50$ en nu volgt $$ \Delta O\approx dO=O'(r)\cdot dr=2\pi r\times r/50 =\pi r^2/25 $$De relatieve verandering is dus $1/25$ (vier procent).
