Hallo Waarom moet de matrix gelinkt aan een kwadratische vorm een symmetrische matrix zijn? q(x1,...,xn) = (x1,...,xn)*A*(x1,...,xn)^T is de definitie van een kwadratische vorm. In mijn cursus staat dat A symmetrisch is. Maar ik heb eens geprobeerd een willekeurige, niet-symmetrische matrix A in te vullen in de formule en ik kom ook een kwadratische vorm uit denk ik. Kan iemand me helpen? (evt. zie ik de definitie niet goed in?) Alvast bedankt.
Helene
Student universiteit - vrijdag 5 augustus 2016
Antwoord
Beste Helene,
Voor de eenvoud illustreer ik het voor een 2x2-matrix. Je kan in de formule: $$X^TAX \; = \; \left( x , y \right) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$inderdaad een willekeurige matrix $A$ invullen. Bijvoorbeeld zou de keuze: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ aanleiding geven tot de kwadratische vorm: $$x^2+5xy+4y^2$$Maar diezelfde kwadratische vorm kan je associëren met een symmetrische matrix, namelijk: $$A' = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{5}{2} \\ \tfrac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}$$Omdat dit steeds mogelijk is (*) en omdat het (later) erg nuttig blijkt om met symmetrische matrices te kunnen werken, denk maar aan diagonalisatie en het bepalen of de matrix positief dan wel negatief (semi-)definiet is enz, kiest men ervoor om bij kwadratische vormen steeds met de bijhorende symmetrische matrix te werken.
---
(*) Merk op dat je elke matrix $A$ kan schrijven als de som van een symmetrische en een anti-symmetrische matrix, namelijk: $$A = \underbrace{\tfrac{1}{2}\left( A+A^T \right)}_{\mbox{sym}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\left( A-A^T \right)}_{\mbox{anti-sym}}$$en ga eventueel zelf na dat het anti-symmetrische deel geen bijdrage levert aan de kwadratische vorm; het vervangen van een willekeurige matrix $A$ door zijn symmetrisch deel, verandert de geassocieerde kwadratische vorm dus niet.
