Hoe kan de covariantie worden berekend met de volgende gegevens? De covariantie is gelijk aan de variantie van V(X+Y)?
X Y 1 2 1 0.4 0.1 2 0.3 0.2
Enorm bedankt alvast!
Jeet
Student universiteit - dinsdag 12 juli 2016
Antwoord
Dag Jeet,
De covariantie is bedoeld om te bepalen hoe sterk een relatie is tussen twee variabelen. Stel dat je een set aan getallenparen hebt, onafhankelijk van elkaar, zeg X en Y, dan bepaal je de covariantie als volgt:
cov(X,Y) = E((X-E(X))·(Y-E(Y)))
De E() is hierbij de Expectation (Verwachting) van een waarde. De E(X) zou je normaliter aannemen als het gemiddelde van de X-waarden, en E(Y) het gemiddelde van de Y-waarden.
Nu echter, hebben we te maken met een gecombineerde weergave, zodanig dat een combinatie van een x- en y-waarde, gepresenteerd wordt als een kans. Dus als de x-verzameling bestaat uit 1 en 2, en zo ook y-verzameling. Dan is er een kans van 0,4 dat de combinatie (x;y) = (1;1) voorkomt.
Deze gecombineerde kans-tabel, is een soort 'samenvatting' van de populatie aan gegevens (waar je normaal mee zou rekenen). Maar we kunnen het wel gebruiken. Want uit deze kans-tabel, kunnen we de 'expected values' van x en y wel bepalen.
Als we bijvoorbeeld kijken naar x=1. Deze kan gecombineerd worden met y=1 (met een kans van 0,4) OF hij kan gecombineerd worden met y=2 (kans van 0,3). Dat is een totale kans van (0,4 + 0,3 = ) 0,7 dat x de waarde van 1 aanneemt. En zo is er een kans van 0,3 ( = 0,2 + 0,1) dat x=2. De 'Expected value' van x is dus (zie het dit keer als een gewogen gemiddelde):
E(x) = 0,7 · 1 + 0,3 · 2 = 1,3
Op gelijke wijze kan ik E(y) uitrekenen:
E(y) = 0,5 · 1 + 0,5 · 2 = 1,5
Als ik nu terugkijk naar de formule voor covariantie, kan ik al wat invullen:
Hier staat dus eigenlijk de Verwachtte waarde van:
(x-1,3)·(y-1,5)
Ik heb in totaal 4 (x;y) combinaties die ik hier in kan vullen. De verwachtte waarde daarvan moeten we dus weer zien als een soort (gewogen) gemiddelde. Iedere combinatie zorgt namelijk voor uitkomst in deze vermenigvuldiging, maar iedere combinatie heeft ook een gewicht (kans) op die combinatie.
