toon aan dat de ellips Eºx2/a2+y2/b2=1 juist vier punten P bezit waarvoor PF1 en PF2 loodrecht op elkaar staan als a$>$bÖ2.
Felix
3de graad ASO - woensdag 21 mei 2014
Antwoord
Als P(x,y) op de ellips ligt en PF1 staat loodrecht op PF2, dan is P óók gelegen op de cirkel met middelpunt O(0,0) en straal c. Dit laatste is de stelling van Thales. De vergelijking van die cirkel is x2 + y2 = c2 Bovendien is c2 = a2 - b2 volgens de ellipseigenschappen.
Wanneer c (de cirkelstraal) te klein is, dan ligt hij helemaal binnen de ellips en heeft er dus niet 4 snijpunten mee. Pas als c$>$b is, krijg je 4 snijpunten en uit c2 = a2 - b2 $>$ b2 volgt a2 $>$ 2b2 en dus a $>$ bÖ(2)
Vergeet je voortaan niet ook even je eigen pogingen mee te sturen? Dan zien we welke kant we op moeten en wat je wel of niet weet.