Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Hyperbolische integraal

Integreer de functie

sqrt(x^2 +a^2) op partiële wijze ...

niet op de irrationele wijze , maar met partiële integratie

kan iemand me soms helpen ?
alvast bedankt

jan
3de graad ASO - dinsdag 4 februari 2003

Antwoord

Hoi,

Ik veronderstel dat je hyperbolische functies kent: sh(x) en ch(x). Je kan ze definiëren als sh(x)=(ex-e-x)/2 en ch(x)=(ex+e-x)/2. Net als bij sin(x) en cos(x) heb je hier een grondeigenschap: ch2(x)-sh2(x)=1. Je rekent dit makkelijk na.
Je rekent ook na dat ch'(x)=sh(x) en dat sh'(x)=ch(x).

Je integrand schreeuwt gewoon om deze substitutie: x=|a|.sh(t) met tÎ. Dan hebben we:
Ö(x2+a2)=Ö(a2.sh2(t)+a2)=|a|.ch(t). We hebben ook: dx=|a|.ch(t).dt.
De integrand wordt dus: a2.ch2(t). Met ch(t)=(et+e-t)/2 kan je dit dan uitrekenen. Een andere manier is om hier partiële integratie toe te passen:

I=
Int(a2.ch2(t)dt)=
a2.Int(ch(t)d(sh(t)))=
a2.[ch(t).sh(t)-Int(sh(t)d(ch(t)))]=
a2.[ch(t).sh(t)-Int(sh2(t)dt)]=
a2.[ch(t).sh(t)-Int((ch2(t)-1)dt)]=
a2.[ch(t).sh(t)+t-Int(ch2(t)dt)]=
a2.(ch(t).sh(t)+t)-I
Zodat
I=a2.(ch(t).sh(t)+t)/2+c

Je rekent na dat d/dt(I)=a2.ch2(t).

We kozen t zodat x=|a|.sh(t).
We hebben dus: sh(t)=x/|a|, ch(t)=Ö(1+sh2(t))=(a2+x2)/|a| en t=ash(x/|a|).
De integraal is dus:
I=
a2.(ch(t).sh(t)+t)/2+c=
a2.((a2+x2)/|a|.x/|a|+ash(x/|a|))/2+c=
(x.(a2+x2).+a2.ash(x/|a|))/2+c

Als je verveeld zit met die ash(x/|a|), dan kan je uit sh(t)=y=(et-e-t)/2 narekenen dat t=ln(y+(1+y2)). Dit betekent dat ash(x/|a|)=ln(x/|a|+(a2+x2)/|a|)=ln(x+(a2+x2))-ln(|a|). Dit laatste constante kunnen we laten absorberen in de integratieconstante. Je krijgt dan uiteindelijk:
I=(x.(a2+x2).+a2.ln(x+(a2+x2)))/2+c. Je zou nu nog moeten narekenen dat d/dx(I)=(a2+x2)...

Groetjes,
Johan




andros
woensdag 5 februari 2003

©2001-2024 WisFaq