\require{AMSmath}

Differentievergelijkingen en Z-transformaties

Beste wisfaq,

Ik wil graag de volgende differentievergelijking oplossen m.b.v. een Z-transformative

y(n+2)=y(n+1)+2y(n), y(0)=2 y(1)=1

Het Z-transformeren van de linker-en rechterkant geeft

z²Y(z)-(z²)y(0)-zy(1)=zY(z)-zy(0)+2Y(z)

(z²-z-2)Y(z)=2z²-z

Dus Y(z)=(2(z²)-z)/(z+1)(z-2)

De macht van z is in de noemer en teller gelijk. Ik dacht eerst, ik schrijf

Y(z)=2(z²)/(z+1)(z-2) + z/(z+1)(z-2),

Nu kan ik z/(z+1)(z-2) schrijven als A/(z+1)+B/(z-2), ik begijp hoe ik dit uit moet werken. Maar ik weet niet wat ik moet doen met

2(z²)/(z+1)(z-2)

Ik dacht eerst aan Az+B/(z+1)(z-2) + Cz+D/(z+1)(z-2) maar dat komt niet uit. Maar omdat de teller en de noemer dezelfde macht hebben moet je waarschijnlijk staartdelen maar dan krijg ik (de constant 2 laat ik even weg)

z²/z²-z-2\1
z²
-z-2
Dus

(z²)/(z+1)(z-2)=1-(z+2)/z². Dit klopt niet maar ik begrijp niet waar ik een fout maak.


Vriendelijke groeten,

Viky

viky
Iets anders - zondag 1 december 2013

Antwoord

Je kunt de breuk
$$
\frac{2z^2-z}{z^2-z-2}
$$
omwerken tot
$$
2+\frac{z+4}{z^2-z-2}
$$
(met een stapje staartdeling: $2z^2-z$ delen door $z^2-z-2$).
Je had je breuk niet in twee stukken moeten delen en in je staartdeling had je $z^2$ door $z^2-z-2$ moeten delen.

kphart
zondag 1 december 2013

©2001-2024 WisFaq