\require{AMSmath}

Limiet berekenen

De functie is van de vorm f(x)= (sin x²+cos (ax) -b) / x²
met de lim x naderend naar nul en f(x)= 17/18
Zoek nu algebraisch a en b.
Maar dit vind ik echter aan geen kanten.

Dekete
3de graad ASO - zaterdag 1 februari 2003

Antwoord

Aha

f(x)= (sin x²+cos (ax) -b) / x²
splitsen we in

(sin x²)/(x²) + (cos(ax)-b))/(x²)

Voor x®0 heeft het eerste deel limiet 1 (standaardlimiet)
Het tweede deel heeft dus limiet -1/18

Wil die limiet van het tweede deel uberhaupt bestaan dan moet voor x®0 de teller 0 opleveren, dat kan alleen als b=1.

gebruik nu twee maal de regel van l'Hopital op het tweede deel

Lim x®0 (cos(ax)-1)/x² =
Lim x®0 -a sin(ax)/2x =
Lim x®0 -a²cos(ax)/2 = -a²/2

Hier moet -1/18 uitkomen dus a= 1/3

Met de reeksontwikkeling van cos(ax) lukt het ook.
Het tweede deel wordt dan......

[1-(ax)²/2! + (ax)^4/4! etc..... - b]/x²

wil dit uberhaupt bestaan dan moet b dus 1 zijn.

vervolgens moet a²/2! = 1/18 dus a=1/3
De andere termen van de reeks doen niets als x®0 gaat.

jadex
zaterdag 1 februari 2003

©2001-2024 WisFaq