1) f,f' en f'' zijn continu in ]-$\infty$,+$\infty$[ 2) de limiet voor x gaande naar +$\infty$ en -$\infty$ van f'(x)=-1 3)x=0 en x=-$\pi$ zijn de enige nulpunten van f' 4) f' vertoont één extremum, namelijk in x=-$\pi$/2
Gevraagd:
1) Verticale asymptoten $\to$ geen wegens continu in ]-$\infty$,+$\infty$[ ?
2) Schuine asymptoten $\to$ geen idee hoe ik hieraan moet beginnen?
3) Horizontale asymptoten $\to$ geen idee hoe ik hieraan moet beginnen?
4) Extrema $\to$ -$\pi$ (minimum) en 0 (maximum) ?
5) Buigpunten $\to$ -$\pi$/2 ?
Ik denk dat 1,4 en 5 juist zijn, en ik kan ook het tekenverloop al grotendeels opstellen, enkel met de eventuele schuine en horizontale asymptoten heb ik problemen...
Alvast bedankt!
Dries
Student universiteit België - zaterdag 28 september 2013
Antwoord
Hallo Dries,
1 lijkt me in orde. Bedenk bij 4 dat -p en 0 de x-coördinaten van de extrema zijn, niet de extreme waarden zelf. Je hebt onvoldoende gegevens om de extreme waarden zelf te bepalen. Voor 5 geldt hetzelfde: -p/2 is de x-coördinaat van het buigpunt.
Wat betreft de horizontale en schuine asymptoot: als deze bestaan, dan is de vergelijking hiervan: y=a.x + b
De helling van de functie (dus f') nadert dan naar richtingscoëfficiënt a van deze asymptoot als x naar oneindig gaat. Wanneer de limiet voor x naar ¥ van f'x gelijk is aan nul, dan kan je een horizontale asymptoot verwachten (de limiet van de functie zelf moet dan wel eindig zijn). Bij deze opgave is de limiet van f' gelijk aan -1, dus kan je een schuine asymptoot verwachten met richtingscoëfficiënt a=-1. Je hebt onvoldoende gegevens om de constante b te bepalen, m.a.w.: je weet niet op welke hoogte de schuine asymptoot ligt.
