Ik zit (helaas) vast bij het oplossen van enkele differentievergelijkingen waarbij complexe getallen een rol spelen.
Mijn dictaat geeft aan:
y(k) - y(k-1) + y(k-2) = 0
Substitutie met rk levert:
r2 - r + 1 = 0
Hieruit kan ik afleiden dat er twee complexe oplossingen volgen:
1/2(1+i√(3)) en 1/2(1-i√(3))
Hieruit stel ik de algemene oplossing als volgt op:
y(k) = c1 (1/2(1+i√(3)))k + c2 v(1/2(1-i√(3)))k
Tot zover kom ik eruit, maar nu wordt er een stap gemaakt naar de reele oplossing. Mijn dictaat zegt dat dit leidt tot 2 reele basisoplossingen: cos(k·Pi / 3) en sin(k·Pi / 3).
Concreet is mijn vraag, hoe komt men hier aan deze twee reele oplossingen? Ik dacht eerst dat dit wellicht kan worden opgelost door het 'handig' kiezen van constanten C1 en C2 en vervolgens herleiden d.m.v. de formules van Euler? Maar het lukt mij niet hierin 'handige' waarden te vinden? Is er een andere mogelijke oplossing?
Alvast bedankt, Jip
Jip
Student universiteit - zondag 10 juni 2012
Antwoord
Beste Jip,
Merk om te beginnen op dat $\cos(\pi/3) = 1/2$ en $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$, zodat de algemene oplossing alvast geschreven kan worden als $$y(k) = c_1 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)^k + c_2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)^k$$De formule van de Moivre (die volgt uit de identiteit van Euler) stelt $$\left( \cos\left( x \right)+i\sin\left( x \right) \right)^k = \cos\left( kx \right)+i\sin\left( kx \right)$$zodat $$y(k) = c_1 \left( \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \right) + c_2 \left( \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \right)$$Stel nu $c_1 = c_2 = C_1/2$ en er volgt $$y(k) = C_1 \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)$$en met $c_1 = -iC_2/2 \, , \; c_2 = iC_2/2$ volgt een tweede basisoplossing $$y(k) = C_2 \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)$$zodat de volledige oplossing de som van de basisoplossingen is $$y(k) = C_1 \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) + C_2 \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)$$ Deze redenering hoef je natuurlijk niet telkens te herhalen en zal altijd werken om, in geval van complexe oplossingen, over te gaan op een reële oplossing geschreven in termen van sinus en cosinus.
