A en B zijn gelijkmachtig als en als er een element b bestaat die voor A naar B een bijectie is, Nu kun je '...is gelijkmachtig met...' als een equivalentierelatie beschouwen. Elke klasse bevat alle verzamelingen die onderling gelijkmachtig zijn.
= Hoe kun je controleren dat de relatie reflexief, symmetrisch en transitief is? (de definitie van een equivalentierelatie)
Mijn tweede vraag is: tot welke klasse behoren de oneindige verzamelingen? (als alle singletons in één equivalentierelatie zitten, ook de paren, de drietallen, de vijftallen...)
Alvast bedankt..
Cassie
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 18 januari 2003
Antwoord
Beste Cassie,
je definitie van gelijkmachtig is niet geheel correct: A en B zijn gelijkmachtig als er een afbeelding b van A naar B bestaat die een bijectie is.
Laten we `is gelijkmachtig met' afkorten met ~. Controleren dat ~ een equivalentierelatie is gaat in drie stappen:
1. A~A: maak een bijectie van A naar zichzelf
2. uit A~B volgt B~A: maak, gegeven een bijectie f:A$\to$B, een bijectie g:B$\to$A
3. uit A~B en B~C volgt A~C: maak uit gegeven bijecties f:A$\to$B en g:B$\to$C een bijectie h:A$\to$C
Wat de tweede vraag betreft: de oneindige verzamelingen zijn verdeeld in oneindig veel klassen. Twee beroemde stellingen van G. Cantor zijn
N (de verzameling van de natuurlijke getallen) en R (de verzameling van de reële getallen zijn niet gelijkmachtig als X een (willekeurige) verzameling is dan zijn X en P(X) (de familie van alle deelverzamelingen van X) niet gelijkmachtig.
Het boek `Verzameling, naief, axiomatisch en toegepast' van Van Dalen, Doets en De Swart is een goede plek om te beginnen deze zaken te bestuderen.
De link naar de biografie van Cantor bevat ook links naar pagina's met meer informatie.
Hoe kun je controleren dat de relatie reflexief, symmetrisch en transitief is? (de definitie van een equivalentierelatie)